Exercices sur les probabilités et les statistiques - 12, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur les probabilités et les statistiques - 12, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Exercices d’informatique sur les robabilités et les statistiques - 12 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Partie I

Exercice 1. On considère une variable aléatoire X discrète qui prend ses valeurs

dans l'ensemble E : {r*}*.* C IR. On considère une fonction / définie sur -8.

On note Uu - f @n) pour k e N. Démontrer la formule de transfert:

Et/(x) l _ l t ig,ùP(x-ro). Lt

Exercice 2. 1) Enoncer et Démontrer I'inégalité de Markov. 2) Enoncer l'inégalité de Tchebycheff. 3) Donner la définition de Ia convergence en probabilité.

4) Enoncer et démontrer la loi des grands nombres.

Exercice 3. Pour l/ € N suffisamment grand, on considère X1,, une suite de variables

aléatoires qui suivent une loi binomiale de paramètres l/ ., #

où o est un

réel strictement ' a

positif tel que F

. 1. Que rurt ,\T."P(Xru : k)?

Partie II

Exercice 1. Le nombre de bactéries dans un ml (millilitre) d'un liquide est une v.a. qui suit une loi de Poisson de paramètre 4.

1. Quelle est la probabilité pour que 1 ml de liquide contienne :

. aucune bactérie ?

o 5 bactéries ?

. au moins 10 bactéries ?

2. Quelle est la distribution du nombre de bactéries dans 5 ml de liquide ? Ecrire sa fonction génératrice.

3. Quelle est la quantité maximale de liquide qui, avec une probabilité au moins 0.90, est sans bactérie ?

(On ne demande pas de faire un calcul numérique et les expressions mathématiques simples seront suffi.santes.)

Exercice 2. Soit / définie sur IR par :

f @) : re-* ' /2LR+ (n).

1. Montrer que / est une densité d'une v.a.

2. Soit X une v.a. de densité /. Posons Y : X2. Calculer la fonction de répartition et la densité de Y.

3. Quelle est la probabilité (conditionnelle) de Y ( 3 sachant que Y > t ?

4. Calculer I'espérance mathématique et la variance de IZ.

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Partie III

Bien qu'il aborde la notion d'estimateur (défrnie ci-dessous), cet exercice ne nécessite aucune connaissance particulière en statistiques. Par ailleurs, Ies par- ties I et II sont indépendantes.

Définition ^9oit I € IR. On appelle estimateur de 0 toute suite de uari- ables aléatoires (X")"ex. qui uérifie les deur propriétés suiaantes :

1 . E(X. ) - 0 pour tou t n€ N* ,

2. V(X.) -+ 0 quand n -+ +oo.

De plus, sf (X",)",6y. et (Yn)nrN* .eont deur estimateurs de 0, on dit que (Y") est un esti,rnateur plus fin que (X.) si on a

pour tout n € N* , V(Y,) <V(X.) .

Questions préliminaires

1. Soit 21 et 22 deux variables aléatoires. Donner une condition suffi.sante p o u r q u e V ( 2 1 a Z z ) : V ( Z t ) + V ç 2 r 1 .

2. Soit o € IR et Z une variable aléatoire. Que peut-on dire deV(aZ) ?

Section I Soit 0 > 0. Soit (Z,r),,çry. une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l0;d].

1. Pour tout n € N*, on pose

o n

€n : ir]i. zr.n 7-t Calculer I'espérance et la variance d. {,". En déduire que ({r)",ex. est un estimateur de 0.

2. Pour tout n € N*, on pose

(b) En déduire la densité d" rln.

(.) Calculer I'espérance et la variance d" rln.

(d) Pour tout n € N*, on pose

À r r : n * t r n .

Montrer que (),")rreN* est ,rr, "rtirrl,teur de 0.

3. Quel est, parmi (€")rex. et (Àr,)",.ry., I'estimateur Ie plus fin ?

Tln: t?ft^zk'

(a) Montrer que la fonction de répartition Fr* de ryn est

( o s i t ( 0 , F r n : 4 ( i l " s i o ( t 1 0 , ,

I 1 s i t > 0 .\ -

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Section II Soit (X")r,€N* une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. En particulier, toutes les variables aléatoires X,, ont la même espérance, eu€ I'on notera n'L) et Ia même variance, que I'on notera o2. On suppose que rn et o2 sont fi.nis et on pose

1 f l

Sr, :1 I (x* - m)2.'7-, . '

1. Montrer que E(S?") -- o2.

2. Pour simplifier, on suppose désormais que 7n - 0. De plus, on définit TTL4: E(XÎ) qu'on suPPose fini. Calculer la variance de ,9fl en fonction de o, rn4 et n.

3. En déduire que ^9fr est un estimateur de o2.

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