Exercices sur les probabilités et les statistiques - correction 3, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur les probabilités et les statistiques - correction 3, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Exercices d’informatique sur les robabilités et les statistiques - Correction - 3 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Corrigé de l’examen Probas et stats de 2007/2008 :

IS 101

24 mars 2008

Exercice 1

question 1

La densité de X est f(x) = 1/a sur (0,a) soit

E(X) =

∫ a 0

xf(x)dx = a/2

d’où E(X̄) = a/2 car les Xi sont deux à deux indépendants entre eux.

V (X) = E(X2) − (E(X))2 = a2 ∗ (1 3 − 1

4 ) = a2/12

d’où V (X̄) = a2/(12 ∗ n) par linéarité de la variance. E(αX̄) = a implique α ∗ a/2 = a soit α = 2. Donc 2X̄ est un estimateur de a

sans biais. On obtient donc V(2X̄)= 4*V(X̄)=a2/(3*n)

question 2

Pour s dans (0,a) la fonction de répartition de S en s est :

F (s) = Prob(S ≤ s) = n∏

i=1

Prob(Xi ≤ s) = n∏

i=1

(s/a) = (s/a)n

La densité de la loi de S en s est : f(s) = n ∗ sn−1/an car F (s) = ∫

s f(s)ds

On obtient :

E(S) =

∫ a 0

sf(s)ds = a ∗ n n + 1

d’où S′ = S∗(n+1) n

est un estimateur sans biais de a et β = (n+1) n

.

E(S2) = a 2∗n

n+2 et E(S ′2) = (n + 1/n)2 ∗E(S2) donc E(S′2) = (n + 1)2 ∗ a2

n∗(n+2)

Or : V (S′) = E(S′2) − (E(S′))2 = (n + 1)2 ∗ a2 n∗(n+2) − a2 Et finalement :

V (S′) = a 2

n∗(n+2)

question 3

S′ est un meilleur estimateur de a car sa variance est plus petite que celle de 2X̄.

1

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Exercice 2

question a

D’après l’énoncé, on a : P (A) = 12 et P (B) = 2∗P (C) or P (A)+P (B)+P (C) = 1 donc P (B) = 26 et P (C) =

1 6

question b

On a P (Raté/A) = 310 et P (Raté/B) = 2 5 et P (Raté/C) =

1 2 . La formule des

probabilités totales donne : P (Pas Raté) = 1−P (Raté) = 1−(P (A)∗P (Raté/A)+ P (B) ∗ P (Raté/B) + P (C) ∗ P (Raté/C)) = 1930

question c

La loi binomiale donne : P (Pas Raté 5 fois) = P (Pas Raté)5 = 0.1

question d

On utilise le théorème central limite.

question e

On a : X̄ = 7h30 , v*=14 ∗ (4 + 4 + 16 + 16) = 10 et σ*=

√ 10 = 3.16.

L’intervalle de confiance pour m est de la forme (X̄ − rσ*,X̄ + rσ*) avec la condition de seuil : Prob( |X̄ − m| > rσ*) < 0.05.

Soit en multipliant dans la Prob par √

5 de chaque côté : Prob( √

5 ∗ |X̄−m| σ∗ >

r ∗ √

5) < 0.05.

Or √

5 |X̄−m| σ∗ suit une loi de Student à 4 degrés de liberté et la table donne

√ 5r

= 2,776 donc r = 1.24 et rσ*≈ 4 donc l’intervalle de confiance vaut (7h26,7h34). L’intervalle de confiance pour σ est de la forme (0,rσ*) avec la condition de

seuil : Prob( rσ*< σ ) < 0.05. Prob( 4*( σ∗ sigma

)2 < 4 ∗ 1 r2

) < 0.05. Or 4*(σ∗ σ

)2 suit

la loi du χ2 à 4 degrés de liberté dont la table donne (2 r )2 = 0.71 soit r = 2.4 et

rσ*=7.5.

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