Exercices sur les racines du polynôme, Exercices de Logique mathématique

Exercices sur les racines du polynôme, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématiques sur les racines du polynôme.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:la courbe représentative,le corps des nombres complexes,le problème.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Grenoble juin 1970 \

EXERCICE 1

1. Déterminer toutes les racines du polynôme

2x3+ x2−3,

en remarquant qu’il s’annule pour x = 1.

2. Étudier la fonction f définie par

f (x)= x3+ x2+3

x

et en construire la courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé.

3. Préciser la position de (C ) par rapport à la parabole (P ) d’équation y = x2+ x.

4. Calculer en fonction de a l’aire de la région limitée par la courbe (C ), la para- bole (P ), la droite x = 1 et la droite x = a (a > 1).

5. Déterminer a, à 0,01 près, pour que cette aire soit égale à 1.

EXERCICE 2

On considère, dans le corps des nombres complexes, l’équation

x2+4x cosu+2+4cos2u = 0

u désigne un paramètre réel compris entre −π et +π.

1. Pour quelles valeurs de u les deux racines de cette équation sont-elles réelles ?

2. Déterminer le module et l’argument de chaque racine dans le cas où u = π

6 .

PROBLÈME

N.B.- les parties A, B, C sont indépendantes. A. Le plan est rapporté à un repère orthonormé

(

x′Ox, y ′Oy )

. Soit T l’application qui, au point M de coordonnées (x ; y ) non toutes deux nulles, fait correspondre le point M ′ de coordonnées (X ; Y ) définies par

X = k2x

x2+ y2 et Y =

k2y

x2+ y2 ,

k étant un nombre réel donné, strictement positif.

1. L’application T a-t-elle des points doubles ? Montrer que l’application T du plan privé du point O dans lui-même est bijective et involutive.

2. Montrer que les points O, M et M ′ sont alignés.

Calculer le produit scalaire −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ .

En déduire la nature de l’application T .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

B. On considère le point A de coordonnées (a ; 0), a > 0, la droite (D) d’équation x = 2a, le cercle (C ) de centre A, passant par O et la droite (L) passant par O et telle que

(Ox, L)= u, 06π, u 6= π

2

1. (L) coupe la droite (D) en Q et recoupe le cercle (C ) en P. Écrire l’équation de (C ) et calculer les coordonnées des points P et Q.

2. Soit N le point tel que −−→ ON =

−−→ PQ . Calculer les coordonnées

(

x1 ; y1 )

de N. Trouver une relation indépendante de u entre x1 et y1.

C.

1. Étudier la fonction f définie par

f (x)= x

x

2a x .

Tracer, en repère orthonormé sa courbe représentative, (G). Préciser la tan- gente en O à (G).

2. En déduire la courbe (

G ′ )

ayant pour équation

f (x)=−x

x

2a x .

et l’ensemble (

G ′′ )

des points dont les coordonnées vérifient la relation

x (

x2+ y2 )

= 2ay2.

3. Appliquer à (

G ′′ )

la transformation T . Montrer que l’on obtient ainsi une pa- rabole privée de O. Déterminer k pour que la foyer de cette parabole soit A.

Grenoble 2 juin 1970

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