Exercices sur les rappels de probabilités, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les rappels de probabilités, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques surles rappels de probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: formule de Bayes, Révision de diverses lois discrètes, Probabilités conditionnelles, Lecture graphique de probab...
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TD2

TD2 : Rappels de Probabilités Exercice 1 : formule de Bayes Deux cours ont lieu simultanément dans deux amphithéâtres contigus, A et B, contenant respectivement 90% et 50% de filles. Dans B, il y a 4 fois plus d’étudiants que dans A. Les deux amphithéâtres se vidant dans le même couloir, calculer la probabilité qu’une fille choisie au hasard sorte de A. Exercice 2 : Révision de diverses lois discrètes Deux joueurs A et B jouent à un jeu de hasard. A chaque partie jouée, A a une probabilité p de la remporter.

1. Loi binomiale : Soit X le nombre de parties remportées par A au bout de n parties. Donner la loi de X.

2. Loi géométrique : Soit Y le nombre de parties nécessaires à l’obtention du premier succès de A. Déterminer la loi de Y. Vérifier que l’expression obtenue est bien une loi de probabilité.

3. Loi de Pascal : Soit Z le nombre de parties nécessaires à l’obtention du r° succès de A. Déterminer la loi de Z. Calculer son espérance.

4. Loi binomiale négative : Soit T le nombre d’échec précédent le r° succès de A. Donner la loi de Z.

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs entières, telles que pour tout

, ( ) (1 ) et ( ) (1 ) k k

k N P X k a a P Y k b b∈ = = − = = − , où a et b sont deux éléments de ]0,1[. Calculer P(X=Y), P(X<Y) et P(X>Y). Exercice 4 : Lecture graphique de probabilités

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Exercice 5 : inégalité de Bienaymé-Tchebychev On considère la fonction f définie par :

[ ]21 si 1,1 ( ) 4

0 sinon

x x f x

λ − ∈ −=  

1. Déterminer le réel λ pour que f soit une densité de probabilité. 2. Soit X une va. De densité f . Calculer ( ) et ( )E X V X . 3. Déterminer un intervalle I de centre 0 et de longueur 2l tel que ( ) 0.5P X I∈ ≥ . 4. Quelle est la probabilité exacte de l’évènement { }X I∈ ?

Exercice 6 : Loi d’une fonction d’une variable aléatoire

Exercice 7 : Variable tronquée

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Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. On définit la variable aléatoire Z par Z=min(X,c) où c est un réel. Calculer la fonction de répartition de Z. Z admet- t-elle une densité de probabilité ? Exercice 8 : Durée de vie de composants électroniques

Soit le circuit électronique représenté figure 3, où , et 1 2 3C C C sont des composants

électroniques. Ce système fonctionne si et seulement si 1C fonctionne ainsi que ou 2 3C C .

Pour tout {1, 2, 3}i ∈ , la durée de vie Vi du composant iC suit une loi exponentielle de

paramètre 0λ > . On suppose les variables Vi mutuellement indépendantes.

1. Exprimer la durée de vie V du circuit à l’aide de , et V1 2 3V V .

2. Calculer la fonction de répartition et la densité de V. Exercice 9 : loi des extrêmes

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Exercice 10 : Loi log-normale

Exercice 11 : Lecture de tables

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