Exercices sur les structures arborescentes - 8, Exercices de Informations et informatique
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur les structures arborescentes - 8, Exercices de Informations et informatique

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Exercices d’informatique sur les structures arborescentes - 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB-MATMECA Première Année Informatique Année 20II-2012

Structures arborescentes

Durée : 2h00. Notes de cours et de TD autorisées.

Tout appareil électronique et tout robot interdit.

La complexité en temps (resp. espace) désigne ici celle dans le pire des cas. Les arbres ici sont binaires et représentent des ensembles d'entiers.

Un arbre 7 est ici représenté par une structure contenant un champ de nom racine de type noeud et désignant le neoud racine si il en existe et une sentinelle sinon.

Un noeud est une structure composé des champs de noms valeur, fg, fd, estSent de types respectifs entier, noeud, noeud, booléen désignant respectivement Ia valeur contenue, le noeud fils gauche, le noeud fils droit et le booléen indiquant si il est sentinelle.

Nous rappelons qu'un noeud est une feui,lle si il n'est pas sentinelle et si ses deux fils sont sentinelles et qu'un noeud est 'interne si il n'est ni une sentinelle ni une feuille.

La posi,t'ion d':ur- noeud dans un arbre 7 est I'entier 1 si il est racine,2*p (resp. 2xpf I) où p est la position de son père.

Un arbre est complet si toutes les feuilles de 7 sont à une même distance de Ia racine et si tout noeud interne possède exactement deux fils non sentinelles.

Un arbre est parfait si I'ensemble des positions des noeuds (non sentinelles) forme un intervalle d'entier (c'est à dire de la forme [1,t]).

Les valeurs de ? sont I'ensemble des valeurs des noeuds (non sentinelles) de ?. Il est imposé que tout noeud non sentinelle possède deux noeuds fils gauche et fils droit

éventuellement sentinelles; chaque noeud sentinelle ou autre possède au plus un noeud père.

Exercice 1 1. Fournir une caractérisation des arbres complets à I'aide de l'ensemble des positions de ses noeuds.

2. Dessiner un arbre binaire de recherche parfait ayant 10 valeurs.

3. Quel pourrait etre I'interêt des arbres binaires de recherche parfaits ?

Exercice 2 1. Dessiner l'ensemble des structures et leurs champs représentant I'arbre binaire ci dessous :

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Exercice 3

Ecrire de façon récursive 7 algorithmes qui pour tout arbre binaire 7 :

1. calcule le nombre de noeuds (non sentinelles) de ?.

2. calcule le maximum des valeurs de 7.

3. calcule le produit des valeurs de 7.

4. décide si 7 est un arbre binaire de recherche.

5. décide si ? est un arbre complet.

6. décide si ? est un arbre parfai,t.

7. (question principale) transforme un arbre binaire de recherche T en un arbre binaire de recherche parfait possédant les mêmes noeuds que ?.

Pour I'ensemble des questions ci-dessus, vous fournirez : - un ensemble significatif d'entrée/sortie illustrant le problème. - la complexité en temps et en espace de vos algorithmes. - un algorithme de complexité en temps minimale. La complexité en espace (hors la pile

d'appel) sera pour les questions 1. à 6. constante. En ce qui concerne la questianT., vous écrirez deux versions : - un premier algorithme créant et utilisant à un instant de l'algorithme un tableau des

noeuds de 7 rangés par valeurs croissantes. - un second algorithme conceptuellement proche du précédent en listant les noeuds

par valeurs croissante à I'aide du chainage fd (et donc sans utiliser de tableau ou toute autre espace mémoire non constante autre que la pile d'appel).

Pour I'ensemble des questions 1. à 7., chacun de vos algorithmes utilisera une fonction auxiliaire prenant en entrée notamment un noeud (et non un arbre) ; pour chacune d'entre elles, vous fournirez :

- une définition du problème. - un ensemble significatif d'entrée/sortie illustrant le problème. - la complexité en temps et en espace de vos algorithmes.

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