Exercices sur les tests statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur les tests statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les tests statistiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 6.
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Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD 5 – Tests statistiques

Exercice 1. Avant d’acheter un lot d’ampoules, un acheteur avisé s’interroge sur leur durée de vie moyenne. Il mesure cette durée de vie sur un sous-lot de n de ces ampoules et associe à cette expérience le modèle (Rn, {E(θ)⊗n}θ>0).

1. Quel est le problème de test que poserait l’acheteur voulant vérifier si la durée de vie moyenne des ampoules est effectivement plus grande qu’une unité de temps, comme l’affirme le construc- teur ? Construire un test UPPα, pour α ∈]0, 1[.

2. Montrer que le test de H ′0 : θ = 1 contre H ′0 : θ 6= 1 n’admet pas de test UPPα. Construire un test de niveau α ∈]0, 1[.

Exercice 2. On considère le modèle statistique (Rn, {N (θ, 1)⊗n}θ∈R), le problème de test H0 : θ = 0 contre H1(µ) : θ = µ avec µ < 0 et on fixe α ∈]0, 1[.

1. Déterminer un test UPPα, noté Tn(µ), pour le problème de test H0 contre H1(µ). Calculer sa puissance.

2. Étudier le comportement de la puissance du test Tn(−n−γ) en fonction de γ ∈ R lorsque n→∞. Commenter les résultats.

Exercice 3. On considère le modèle statistique (N, {P(θ)⊗n}θ>0) et le problème de test H0 : θ = 1 contre H1(µ) : θ = µ pour µ > 1. Soit α ∈]0, 1[.

1. Construire un test UPPα, noté Tn(µ) pour ce problème. 2. Déterminer la puissance asymptotique du test Tn(1 + n−γ) pour γ ∈ R.

Exercice 4. Soient F une fonction de répartition sur R strictement croissante telle que F (0) = 1/2 et (Rn,

{ Q⊗nθ

} θ∈R)

un modèle statistique où, pour tout θ ∈ R, Qθ est la loi de fonction de répartition Fθ donnée par Fθ(x) = F (x+ θ) pour tout x ∈ R. Si (X1, X2, . . . , Xn) ∼ Q⊗nθ , on note Sn la statistique

Sn = 1

n

n∑ i=1

1I{Xi≤0}.

1. Préciser la loi limite de √ n(Sn − 1/2).

2. Construire un test asymptotique de niveau α ∈]0, 1[ basé sur la statistique Sn dans le problème de test de H0 : θ = 0 contre H1 : θ 6= 0. Ce test est-il convergent ?

Exercice 5. Soient n observations indépendantes {(x1, y1), . . . , (xn, yn)} issues de la loi d’un couple de variables aléatoires (X,Y ), où X et Y sont liées par la relation Y = aX + bε, avec a ∈ R et b > 0 inconnus et (X, ε) des variables aléatoires réelles centrées réduites et indépendantes qui possèdent des densités connues. L’objectif de cet exercice est de construire un test portant sur l’éventuelle absence de lien entre les yi et les xi.

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1. Construire le modèle statistique.

2. Soit ((X1, Y1), . . . , (Xn, Yn)) un échantillon du modèle statistique. Construire des estimateurs â et b̂ de a et b en minimisant la fonction Psi donnée par

a 7→ Ψ(a) = n∑ i=1

(Yi − aXi)2.

3. Montrer que â et b̂ sont consistants.

4. Donner la vitesse et la loi limite de â.

5. Construire un test asymptotique de niveau α ∈]0, 1[ dans le problème de test de H0 : a = 0 contre H1 : a 6= 0. Ce test est-il convergent ?

Exercice 6. Soit θ0 ∈ R et (R, {Qθ}θ∈R) un modèle statistique régulier d’information de Fisher I dont la vrai- semblance L est telle que lnL(x; ·) est de classe C2 pour tout x ∈ R et supt∈V

∣∣∇2 lnL(·; t∣∣ ∈ L1(Qθ0) pour un voisinage V de θ0. On suppose que l’EMV θ̂ du modèle (Rn,

{ Q⊗nθ

} θ∈R) existe et satisfait

la propriété

∀θ ∈ R, √ n(θ̂ − θ)

L/Q⊗nθ−−−−→ n→∞

N (0, I(θ)−1).

Considérons le problème de test de H0 : θ = θ0 contre H1 : θ 6= θ0 et la statistique Vn du rapport de vraisemblance maximale :

Vn = Ln(·; θ0)

supθ∈R Ln(·; θ) ,

où Ln est la vraisemblance du modèle (Rn, { Q⊗nθ

} θ∈R).

1. Décrire la forme d’un test pur basé sur la statistique Vn.

2. Sous H0, donner la loi limite de la statistique −2 lnVn. 3. En déduire un test asymptotique de niveau α ∈]0, 1[.

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