Exercices sur les variations de la fonction, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématiques sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie, le repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Groupe 1 1 juin 1970 \

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de la fonction qui, à tout x réel, associe

2cosx −cos2x.

2. Soit F la fonction définie par

x ∈ [π

3 ; π

]

, F (x)= 2cosx −cos2x.

Démontrer que F admet une fonction réciproque, G, dont on précisera le do- maine de définition et les propriétés.

Étudier les variations de G et tracer sa représentation graphique.

3. Calculer les valeurs de G et de sa dérivée pour les valeurs − p 2,−

1

2 et +1 de la

variable.

Calculer cos[G(t)] et sin[G(t)] en fonction de t .

EXERCICE 2

On donne deux nombres positifs, a et b, (0 < a < b), et deux nombres positifs, λ et µ. On définit deux suites par les relations suivantes :

u1 = a v1 = b . . . . . . . . . . . .

un+1 = un +λvn 1+λ

vn+1 = un +µvn 1+µ

1. Comment doit-on choisir λ et µ pour que l’on ait

u1 < u2 < v2 < v1?

b)λ etµ étant ainsi choisis, démontrer que les suites (un) et (vn) ont une limite commune, que l’on déterminera.

EXERCICE 3

Ondonne, dans le plan, un repère orthonormé, d’axes Ox et Oy ; un cercle (ω) a pour centreω(+2 ; 0) et pour rayon 1.

1. Trouver l’équation du cercle (ω) et celle de la polaire (∆) de l’origine, O, par rapport à (ω).

Comment doit-on choisir les réels u et v pour que la droite (D) (ux+v y−1 = 0) coupe (ω) en deux points distincts, P et Q ?

La droite (D) coupant (ω) en deux points distincts, P et Q, démontrer que l’équation

x2+ y2−4x +3+2λ(ux + v y −1) = 0,

λ est un réel quelconque, représente un cercle contenant P et Q.

Trouver l’équation du cercle (Γ) passant par les points O, P et Q.

1. Centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique Noire

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Les droites OP et OQ recoupent le cercle (ω) en des points P′ et Q′ respecti- vement. La droite (D′) joignant P′ et Q′ coupe en I la droite PQ ; démon- trer

géométriquement que I a pour abscisse 3

2 .

Dans l’inversion de pôle O laissant globalement invariant le cercle (ω), quelle est la courbe transformée du cercle (Γ) ? En déduire que la droite (D′) a pour équation

3(ux + v y +1)−4x = 0.

3. Démontrer analytiquement et géométriquement que, si la droite (D) pivote autour du point fixe M0

(

x0 ; y0 )

, la droite (D′) pivote autour d’un point fixe Ml1

(

x1 ; y1 )

. Calculer x0 et y0 en fonction de x1 et y1 et inversement.

On considère la transformation ponctuelle planeT qui à tout point M0 associe le point M1. Trouver les points qui sont invariants par T .

Donner une définition géométrique de T .

Démontrer géométriquement que le cercle (ω) est globalement invariant par T .

Trouver géométriquement tous les cercles invariants par T ; donner l’équation générale de ces cercles.

4. Une droite (Λ) menée par ω coupe le cercle (ω) en N et N′ ; les bissectrices des droites ON et ON′ coupent la droite NN′ en U et en V respectivement ; soit E le milieu de UV.

Démontrer géométriquement que E est équidistant de l’axe Oy et de la droite (∆).

Utiliser ce résultat pour obtenir l’équationdu lieu géométrique, ( ∑

), des points U et V lorsque (Λ) pivote autour deω.

Onmettra cette équation sous la forme

y2 = f (x),

f est une fraction rationnelle.

On démontrera que la dérivée de la fonction positive y que définit la formule précédente s’annule pour une seule valeur de x.

On construira enfin la courbe ( ∑

).

Groupe 1 2 juin 1970

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