Exercices sur les vecteurs gaussiens et tests, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur les vecteurs gaussiens et tests, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les vecteurs gaussiens et tests. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Espérance conditionnelle pour un vecteur gaussien, Vecteur gaussien et loi conditionnelle, Densités ...
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Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD – Vecteurs gaussiens et tests

Exercice 1. Espérance conditionnelle pour un vecteur gaussien Soit (X,Y ) un vecteur gaussien sur R2 (i.e. toute combinaison linéaire de ses composantes est une v.a. gaussienne) non dégénéré.

1. On suppose dans un premier temps que (X,Y ) est centré, réduit, de covariance ρ. Donner la densité du couple (X,Y ). En déduire la loi conditionnelle de Y sachant X = x et E(Y |X).

2. Dans le cas général, que vaut E(Y |X) ? 3. Déterminer E(Y |X + Y ) et retrouver géométriquement le résultat si (X,Y ) est réduit.

Exercice 2. Vecteur gaussien et loi conditionnelle On définit un couple aléatoire (X,M) à valeurs dans R2 par :

– la loi conditionnelle de X sachant M = m est la loi gaussienne N (m,σ2), – la loi de M est la loi gaussienne N (m0, τ2),

avec m0, σ2 et τ2 donnés (σ > 0 et τ > 0). 1. Montrer que (X,M) est un vecteur gaussien. En déduire E(M |X). 2. Donner la loi conditionnelle de M sachant X = x et la loi de X.

Exercice 3. Densités gaussiennes On considère le vecteur gaussien (X,Y, Z) centré de matrice de covariance

Γ =

 2 1 01 2 0 0 0 1

 1. Donner la densité de ce vecteur par rapport à la mesure de Lebesgue sur R3. 2. Donner la loi de Z sachant (X,Y ), la loi de X sachant (Y, Z) et celle de (Y,Z) sachant X.

Exercice 4. Densités conditionnelles Soit X, Y et Z trois v.a.r. telles que

– X est uniformément répartie sur [0, 1], – Sachant X = x, Y admet une densité conditionnelle fX=xY donnée par

fX=xY (y) =

{ (y − x)e−(y−x) si y > x, 0 sinon.

– Sachant X = x et Y = y, Z admet une densité conditionnelle fX=x,Y=yZ donnée par

fX=x,Y=yZ (z) =

{ (y − x)e−z(y−x) si z > 0, 0 sinon,

pour (x, y) ∈ A = {(x, y), x ∈ [0, 1] et y > x}.

1. Quelle est la loi de probabilité conjointe de (X,Y, Z) ?

1

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2. Quelle est la loi de Z ?

3. Quelle est la loi conditionnelle de (X,Y ) sachant Z = z ?

4. Calculer E (√ Y −X|Z = z

) , puis E

(√ Y −X

) .

On pose U = Y −X et V = Z(Y −X). 5. Quelle est la loi de probabilité conjointe de (X,U, V ) ?

6. Les v.a. X, U , V sont-elles indépendantes ?

Exercice 5. Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. i.i.d. de fonction de répartition continue F . On peut montrer que

nIn := n

∫ (Fn(x)− F (x))2dF (x)

L−−−→ n→∞

∞∑ k=1

Yi (πk)2

,

où les (Yi) sont i.i.d. de loi χ2(1).

1. Montrer que

nIn = 1

12n +

n∑ i=1

( 2i− 1

2n − F

( X(i)

))2 .

2. En déduire que l’on peut supposer que X1 est de loi uniforme sur [0, 1] et In est une statistique libre.

3. Expliquer comment construire un test d’adéquation à partir de la la statistique In.

Exercice 6. Soit (Un)n≥1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. On définit, pour tous x ∈ [0, 1] et n ≥ 1,

Hn(x) := √ n(Fn(x)− x) =

√ n

( 1

n

n∑ i=1

1I{Ui≤x} − x

) ,

où Fn désigne la fonction de répartition empirique de l’échantillon (Ui)1≤i≤n.

1. Calculer les moyenne et variance de Hn(x).

2. Quel est le comportement de la suite (Hn(x))n≥1 quand n tend vers l’infini ?

3. Pour 0 < x < y < 1, calculer la covariance de Hn(x) et Hn(y).

4. Quel est le comportement de la suite ((Hn(x), (Hn(y))n≥1 quand n tend vers l’infini ? Géné- raliser.

5. On considère à présent une suite (Xn)n≥1 de v.a. i.i.d. de fonction de répartition continue F . Que dire des v.a.

Hn(x) = √ n(Fn(x)− F (x)),

où Fn est la fonction de répartition empirique de l’échantillon (Xi)1≤i≤n et x ∈ R ?

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