Exercices sur les vecteurs gaussiens et tests, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur les vecteurs gaussiens et tests, Exercices de Méthodes Mathématiques

PDF (227.8 KB)
2 pages
465Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques concernant les vecteurs gaussiens et tests. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Espérance conditionnelle pour un vecteur gaussien, Vecteur gaussien et loi conditionnelle, Densités ...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD – Vecteurs gaussiens et tests

Exercice 1. Espérance conditionnelle pour un vecteur gaussien Soit (X,Y ) un vecteur gaussien sur R2 (i.e. toute combinaison linéaire de ses composantes est une v.a. gaussienne) non dégénéré.

1. On suppose dans un premier temps que (X,Y ) est centré, réduit, de covariance ρ. Donner la densité du couple (X,Y ). En déduire la loi conditionnelle de Y sachant X = x et E(Y |X).

2. Dans le cas général, que vaut E(Y |X) ? 3. Déterminer E(Y |X + Y ) et retrouver géométriquement le résultat si (X,Y ) est réduit.

Exercice 2. Vecteur gaussien et loi conditionnelle On définit un couple aléatoire (X,M) à valeurs dans R2 par :

– la loi conditionnelle de X sachant M = m est la loi gaussienne N (m,σ2), – la loi de M est la loi gaussienne N (m0, τ2),

avec m0, σ2 et τ2 donnés (σ > 0 et τ > 0). 1. Montrer que (X,M) est un vecteur gaussien. En déduire E(M |X). 2. Donner la loi conditionnelle de M sachant X = x et la loi de X.

Exercice 3. Densités gaussiennes On considère le vecteur gaussien (X,Y, Z) centré de matrice de covariance

Γ =

 2 1 01 2 0 0 0 1

 1. Donner la densité de ce vecteur par rapport à la mesure de Lebesgue sur R3. 2. Donner la loi de Z sachant (X,Y ), la loi de X sachant (Y, Z) et celle de (Y,Z) sachant X.

Exercice 4. Densités conditionnelles Soit X, Y et Z trois v.a.r. telles que

– X est uniformément répartie sur [0, 1], – Sachant X = x, Y admet une densité conditionnelle fX=xY donnée par

fX=xY (y) =

{ (y − x)e−(y−x) si y > x, 0 sinon.

– Sachant X = x et Y = y, Z admet une densité conditionnelle fX=x,Y=yZ donnée par

fX=x,Y=yZ (z) =

{ (y − x)e−z(y−x) si z > 0, 0 sinon,

pour (x, y) ∈ A = {(x, y), x ∈ [0, 1] et y > x}.

1. Quelle est la loi de probabilité conjointe de (X,Y, Z) ?

1

docsity.com

2. Quelle est la loi de Z ?

3. Quelle est la loi conditionnelle de (X,Y ) sachant Z = z ?

4. Calculer E (√ Y −X|Z = z

) , puis E

(√ Y −X

) .

On pose U = Y −X et V = Z(Y −X). 5. Quelle est la loi de probabilité conjointe de (X,U, V ) ?

6. Les v.a. X, U , V sont-elles indépendantes ?

Exercice 5. Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. i.i.d. de fonction de répartition continue F . On peut montrer que

nIn := n

∫ (Fn(x)− F (x))2dF (x)

L−−−→ n→∞

∞∑ k=1

Yi (πk)2

,

où les (Yi) sont i.i.d. de loi χ2(1).

1. Montrer que

nIn = 1

12n +

n∑ i=1

( 2i− 1

2n − F

( X(i)

))2 .

2. En déduire que l’on peut supposer que X1 est de loi uniforme sur [0, 1] et In est une statistique libre.

3. Expliquer comment construire un test d’adéquation à partir de la la statistique In.

Exercice 6. Soit (Un)n≥1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. On définit, pour tous x ∈ [0, 1] et n ≥ 1,

Hn(x) := √ n(Fn(x)− x) =

√ n

( 1

n

n∑ i=1

1I{Ui≤x} − x

) ,

où Fn désigne la fonction de répartition empirique de l’échantillon (Ui)1≤i≤n.

1. Calculer les moyenne et variance de Hn(x).

2. Quel est le comportement de la suite (Hn(x))n≥1 quand n tend vers l’infini ?

3. Pour 0 < x < y < 1, calculer la covariance de Hn(x) et Hn(y).

4. Quel est le comportement de la suite ((Hn(x), (Hn(y))n≥1 quand n tend vers l’infini ? Géné- raliser.

5. On considère à présent une suite (Xn)n≥1 de v.a. i.i.d. de fonction de répartition continue F . Que dire des v.a.

Hn(x) = √ n(Fn(x)− F (x)),

où Fn est la fonction de répartition empirique de l’échantillon (Xi)1≤i≤n et x ∈ R ?

2

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome