Exercitation – algèbre – 3 correction, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 3 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe, l’équation (E), les images respectives de A et B par g.
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AmeriqueNordSmai2004.dvi

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2004\

EXERCICE 1 3 points

Commun à tous les candidats

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du seg-

ment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réel m, différent de − 1

3 , on note Gm le barycentre du système de points

pondérés

Sm = {(A, 1), (B, m), (C, 2m)} .

Pour tout point M du plan on note −−→ VM = 3

−−→ MA −

−−→ MB −2

−−→ MC .

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25

point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total

négatif serait ramené à 0.

Répondre aux affirmations sur la page annexe.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de

{

(J, 2),

(

C, 2

3

)}

Pour tout point M , −−→ VM =

−−→ AB +2

−−→ AC .

Pour toutm, distinct de − 1

3 , −−−→ AGm est colinéaire à

−−−−→ AG−1 .

IBG− 12 est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réelm tel que P =Gm .

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. On veut résoudre dans C l’équation

(E) : z3+4z2+2z−28= 0.

a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive :

(z−2) (

z2+az+b )

= 0.

b. Résoudre (E)

2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant :

z2−4= 4− z2.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M .

Montrer que :M appartient à (H) si et seulement si

x2− y2 = 4.

b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, −3− i p 5 et −3+ i

p 5.

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).

3. Soit r la rotation de centre O et d’angle − π

4 .

a. Déterminer les affixes de A′, B′ et C′, images respectives de A, B et C par la

rotation r (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).

b. On note M ′ l’image par r du point M d’affixe z. On note z ′ l’affixe de M ′.

Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y , celles de z ′ sont no-

tées x′ et y ′. On note (H′) l’ensemble des points du plan dont l’antécédent

par r est un point de (H).

— Exprimer x et y en fonction de x′ et y ′.

— En utilisant la question 2. a. prouver que : M ′ appartient à (H′) si et

seulement si

xy ′ =−2.

4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A′, B′, C′, la courbe

(H′), puis la courbe (H).

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Soient les points A, A′, B et B′ d’affixes respectives :

zA = 1−2i, zA′ =−2+4i, zB = 3− i, zB′ = 5i.

1. a. Placer les points A, A′, B et B′ dans le plan complexe. Monter que ABB′A′

est un rectangle.

b. Soit s la réflexion telle que s(A)=A′ et s(B)=B′. On note (∆) son axe.

Donner une équation de la droite (∆) et la tracer dans le plan complexe.

c. On note z ′ l’affixe du point M ′ image par s du point M d’affixe z.

Montrer que

z ′ =

(

3

5 + 4

5 i

)

z+2i−1.

2. Soit g l’application du plan dans lui même qui à tout pointM d’affixe z asso-

cie le point P d’affixe z ′ définie par :

z ′ =

(

− 6

5 − 8

5 i

)

z+5− i.

a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les

affixes deC et D et placer ces points dans le plan complexe.

b. SoitΩ le point d’affixe 1+i et soit h l’homothétie de centreΩ et de rapport −2.

Montrer que C etD sont les images respectives de A′ et B′ par h.

c. Soit M1 d’affixe z1 l’image par h de M , d’affixe z. Donner les éléments

caractéristiques de h−1 et exprimer z en fonction de z1.

3. On pose f = h−1 ◦ g .

Amérique du Nord 2 mai 2004

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Déterminer l’expression complexe de f .

b. Reconnaître f . En déduire une construction du point P , image par g d’un

point M quelconque donné du plan.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette

dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R

R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule.

Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même

probabilité d’être atteintes.

— Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.

— Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.

— Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

— Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a dé-

signe un nombre réel positif.

1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur

(compté négativement quand il perd).

a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance

E(X ) soit nulle.

2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement

positif.

a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?

b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la pro-

babilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?

c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite

en 2. b. ?

EXERCICE 4 8 points

Commun à tous les candidats

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation diffé-

rentielle :

(En ) y ′+ y =

xn

n! e−x .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur R,

vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel,

h′(x)= xn

n! .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que

h(0)= 0.

Quelle est alors la fonction g ?

Amérique du Nord 3 mai 2004

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Soit ϕ une fonction dérivable sur R.

a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕg est solution de l’équation :

(F) y ′+ y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0)= 0.

Partie II

Le but de cette partie est de montrer que

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e (on rappelle que par convention 0!= 1).

1. On pose, pour tout x réel,

f0(x)= e −x , f1(x)= xe

x .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y ′+ y = f0.

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la

solution de l’équation différentielle y ′+ y = fn−1 vérifiant fn (0)= 0.

En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et

tout entier n> 1 :

fn (x)= xn

n! e−x .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

In = ∫1

0 fn (x)dx. (on ne cherchera pas à calculer In )

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle

[0 ; 1], l’encadrement :

06 fn(x)6 xn

n! .

En déduire que 06 In 6 1

(n+1)! , puis déterminer la limite de la suite (In ).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : Ik Ik−1 =− 1

k! e−1.

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que :

In = 1− n

k=0

e−1

k!

d. En déduire finalement :

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e.

Amérique du Nord 4 mai 2004

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