Exercitation – algèbre – 4 correction, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 4 correction, Exercices de Algèbre linéaire

PDF (47.9 KB)
4 pages
158Numéro de visites
Description
Correction de l'exercitation – algèbre – 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les suites, le polynôme, l'intégration par parties, la forme exponentielle.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
AntillesSjuin2004.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004 \

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

On définit les suites (an) et (bn) par a0 = 1, b0 = 7 et

an+1 = 1

3 (2an +bn )

bn+1 = 1

3 (an +2bn )

Soit Dune droitemunie d’un repère (

O ; −→ ı )

. Pour tout n ∈N, on considère les points An et Bn d’abscisses respectives an et bn .

1. Placez les points A0, B0, A1, B1, A2 et B2.

2. Soit (un ) la suite définie par un = bnan pour toutn ∈N. Démontrez que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez un en fonction de n.

3. Comparez an et bn . étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Inter- prétez géométriquement ces résultats.

4. Démontrez que les suites (an) et (bn ) sont adjacentes.

5. Soit (vn) la suite définie par v = an + bn pour tout n ∈ N. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn ] ont tous le même milieu I.

6. Justifiez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

EXERCICE 2 7 points

Commun à tous les candidats

But de l’exercice : approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appar- tient à l’intervalle [0 ; +∞[.

Soit a ∈ [0 ; +∞[.

On note I0(a)= ∫a

0

1

1+ t dt et pour k ∈N∗, on pose Ik (a)=

a

0

(t a)k

(1+ t)k+1 dt .

1. Calculez I0(a) en fonction de a.

2. À l’aide d’une intégration par parties, exprimez I1(a) en fonction de a.

3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

Ik+1(a)= (−1)k+1ak+1

k+1 + Ik (a) pour tout k ∈N∗.

4. Soit P le polynôme défini sur R par P (x)= 1

5 x5−

1

4 x4+

1

3 x3−

1

2 x2+ x.

Démontrez en calculant I2(a), I3(a) et I4(a), que I5(a)= ln(1+a)−P (a).

5. Soit J (a)= ∫a

0 (t a)5 dt . Calculez J (a).

6. a. Démontrez que pour tout t ∈ [0 ; a], (t a)5

(1+ t)6 > (t a)5.

b. Démontrez que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, J (a)6 I5(a)6 0.

7. En déduire que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, |ln(1+a)−P (a)|6 a6

6 .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P (a) est une valeur approchée de ln(1+a) à 10−3 près.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par ré- ponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être

inférieure à zéro.

On pose z =− √

2+ p 2+ i

2− p 2.

1. La forme algébrique de z2 est :

A : 2 p 2 B : 2

p 2−2i

p 2 C : 2+

p 2+i

(

2− p 2 )

D : 2 p 2+2i

p 2

2. z2 s’écrit sous forme exponentielle :

A : 4ei π

4 B : 4e−i π

4 C : 4ei 3π 4 D : 4e−i

3π 4

3. z s’écrit sous forme exponentielle :

A : 2ei 7π 8 B : 2ei

π

8 C : 2ei 5π 8 D : 2ei

3π 8

4.

2+ p 2

2 et

2− p 2

2 sont les cosinus et sinus de :

A : 7π

8 B :

5π

8 C :

3π

8 D :

π

8

EXERCICE 4 5 points

Pour les candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le tétraèdre ABCD ; on note Imilieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}. Exprimez

−−→ IG1 en fonction de

−−→ CD . Placez I, J et G1 sur la figure (voir feuille

annexe).

b. SoitG2 le barycentre du systèmedepoints pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2)}.

Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soitm un réel. On noteGm le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C , m−2) ; (D, m)}.

a. Précisez l’ensemble E des valeurs dem pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E .

b. Démontrez queGm , appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteurm −−−→ JGm est constant.

d. En déduire l’ensemble F des pointsGm lorsquem décrit l’ensemble E .

Antilles-Guyane 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP ) avec (CD). La per- pendiculaire δ à (AP ) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure.

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle π

2 .

a. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rota- tion r .

b. Déterminez les images de R et de P par r .

c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS.

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la

similitude de centre A, d’angle π

4 et de rapport

1 p 2 .

a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. Démontrez que les points M , B, N et D sont alignés.

Antilles-Guyane 3 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe : exercice 4

A

B

C

D

Antilles-Guyane 4 juin 2004

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome