Exercitation – algèbre – 5 correction, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 5 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction définie, la valeur approchée.
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AntillesSsept.2004.dvi

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2004 \

EXERCICE 1 5 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= xe−x+2.

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

Partie A

1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; +∞[ et déterminer les éven- tuelles asymptotes de la courbe représentative.

2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation

f (x)= ln(x) sur [1 ; +∞[.

b. Montrer que la fonction g définie sur R∗ + par :

g (x)= ln(x)− f (x)

est strictement croissante sur [1 ; +∞[. En déduire que l’équation f (x) = ln(x) admet une unique solution α sur [1 ; +∞[.

c. Déterminer à 10−3 près une valeur approchée de α.

Partie B

1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer :

I= ∫3

0 x2e−2x dx.

2. On définit le solide S obtenu par révolution autour l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f (x) pour 06 x 6 3 dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité 4 cm). On rappelle que le volume V du solide est donné par :

V =π

∫3

0 [ f (x)]2dx.

a. Exprimer V en fonction de I.

b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un tri- angle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA′, ACB′ et ABC′. On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravité res- pectifs des triangles B CA′, ACB′ et ABC′.

A

•B • C

A′

• B′

•C′

P

Q

•R

Baccalauréat S juin 2003 A. P. M. E. P.

On note a, b, c, a′, b′, c ′, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A′, B′, C′, P, Q et R.

1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C′ est l’image de A dans une rotation d’angle de mesure dont on précisera le centre.

b. Montrer que a′+b′+c ′ = a +b +c.

2. En déduire que p +q + r = a +b +c.

3. En déduire que les triangles ABC, A′B′C′ et PQR ont même centre de gravité.

4. Montrer que :

3(q p)= (b′−c)+ (c a′)+ (a b).

On admettra que, de même : 3(r p)= (a c)+ (b a′)+ (c ′−b).

5. Justifier les égalités suivantes :

a c = ei π

3 (b′−c) ; b a′ = ei π

3 (c a′) ; c ′−b = ei π

3 (a b).

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.

EXERCICE 3 (OBLIGATOIRE) 5 points (

O, −→ u ,

−→ v

)

est un repère orthonormal du plan P .

Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1. Soit F l’application deP privé deOdansP qui, à tout point M distinct de O, d’affixe

z , associe le point M ′ = F (M) d’affixe z ′ = −1

z .

1. a. Soit E le point d’affixe ei π

3 , on appelle E′ son image par F . Déterminer l’affixe de E′ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F .

2. a. Soit K le point d’affixe 2ei 5π 6 et K′ l’image de K par F . Calculer l’affixe de

K′.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F .

3. On désigne par R un point d’affixe 1+ eiθ θ ∈]−π ; π[ ; R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que z ′+1= z −1

z .

En déduire que ∣

z ′+1 ∣

=

z ′ ∣

∣ .

b. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1+eiθ θ décrit l’intervalle ]−π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat de a..

EXERCICE 3 (SPÉCIALITÉ) 5 points

Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justi- fiant le choix effectué.

1. Le PGCD de 2004 et 4002 est 6.

2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq −1 est divisible par 2p −1 et par 2q −1.

3. Pour tout n deN∗, 2n −1 n’est jamais divisible par 9.

Antilles-Guyane 2 septembre 2004

Baccalauréat S juin 2003 A. P. M. E. P.

4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation :

24x +35y = 9

est l’ensemble des couples :

(−144+70k ; 99−24k) où k ∈Z.

5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de

centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport 1

3 alors

g f est la translation de vecteur −−→ AB. .

6. Soit s la similitude d’écriture complexe z ′ = iz + (1− i), l’ensemble des points invariants de s est une droite.

EXERCICE 4 5 points

Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée. Les trois questions sont indépendantes.

1. La probabilité pour un individu d’une population d’être atteint d’une mala- dieM est égale à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que

• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50% des cas ;

• le test est positif pour 3% des personnes saines.

Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif ?

 0,95  0,9  0,15  0,05

2. On considère une planche à clous de ce type :

clou

B

0,3 0,7

R1 R2 R3 R4

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une proba- bilité de 0,3 d’aller vers la gauche et 0,7 d’aller vers la droite (gauche et droite relatives à l’observateur).

On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.

Que valent p1 et p2 ?

 p1 = p2 = 0,5  p1 = 0,216 et p2 = 0,784  p1 = 0,468 et p2 = 0,532  p1 = 0,468 et p2 = 0,432.

3. Les 1000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur :

Antilles-Guyane 3 septembre 2004

Baccalauréat S juin 2003 A. P. M. E. P.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234 8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964 4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914 5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737 2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367 8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943 3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480 7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129 8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986 0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320 0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721 4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354 2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605 1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599 0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017 1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035 9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781 8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894

En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau sui- vant :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106

Avec un tableur, on a simulé 1000 expériences de 1000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.

Pour chaque expérience, on a calculé d2 = k=9 ∑

k=0

(

fk −0,1 )2 où fk représente,

pour l’expérience, la fréquence observée du chiffre k.

On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :

d1 = 0,000422 ; Q1 = 0,000582 ; Me= 0,000822 ; Q3 = 0,001136 ; d9 = 0,00145.

En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de π, on obtient :

 0,000456  0,00456  0,000314

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π, fait l’hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10% de rejeter cette hypo- thèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?

 Oui  Non  Il ne peut pas conclure.

Antilles-Guyane 4 septembre 2004

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