Exercitation – algèbre – 6 correction, Exercices de Algèbre linéaire
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Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 6 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’application du plan, Les solutions de l’équation f, La tangente à C au point d’abscisse 0.
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EXERCICE 1 3 points

Commun à tous les candidats

À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ». Aucune justification n’est demandée.

Données Affirmations Réponses f est la fonction définie sur l’ensemble R des nombres

réels par : f (x) = 1

1+ex , C est

la courbe représentative de f dans un repère du plan.

La tangente à C au point d’abs- cisse 0 est parallèle à la droite

d’équation y =− 1

4 x.

G est le barycentre du sys- tème de points pondérés {(A ; −1), (B ; 1), (C ; 4)}

L’application du plan dans lui- même qui à tout point M associe

le pointM ′ tel que −−−−→

MM ′ =− −−→ MA +

−−→ MB + 4

−−→ MC , est une homothétie

de rapport −3. f (x)= x sin3x Les solutions de l’équation f (x) =

1

2 x sont : 0 ;

π

18 + 2k

π

3 ou

5π

18 +

2k π

3 , k et k ′ sont des entiers re-

latifs.

Le barème est le suivant : • Réponse exacte : 1 point. • Réponse fausse : −0,5 point. • Absence de réponse : 0 point. • La note attribuée à l’exercice ne peut être négative.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

, unité

graphique 1 cm. Soit A le point d’affixe 3i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 3iz−7

z−3i .

1. Recherche des points invariants par f .

a. Développer (z−7i)(z+ i).

b. Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et qu’on placera sur un dessin.

2. On appelle Σ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de Σ, distinct de B et de C, soit M ′ son image par f .

a. Justifier que l’affixe z deM vérifie : z = 3i+4eiθ θ est un nombre réel.

b. Exprimer l’affixe z ′ de M ′ en fonction de θ et en déduire que M ′ appar- tient aussi à Σ.

c. Démontrer que z ′ = −z et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique deM ′.

3. On considère un cercle de centre A, de rayon r > 0. Déterminer l’image de ce cercle par f .

Baccalauréat S juin 2004 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10= 9+12 ; 13= 9+22 etc. On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 2n a ∈N, n ∈N, n> 4.

a. Montrer que si a existe, a est impair.

b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de so- lution.

2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 3n a ∈N, n ∈N, n> 3.

a. Montrer que si n> 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

c. On pose n = 2p p est un entier naturel, p > 2. Déduire d’une factori- sation de 3n a2, que l’équation proposée n’a pas de solution.

3. étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 5n a ∈N, n ∈N, n> 2.

a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair.

b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2 c démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2+9 soit une puissance entière de 5.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

On appelle P le plan d’équation 2xy+5= 0 et Q le plan d’équation 3x+ yz = 0.

1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :

x = α

y = 2α+5 z = 5α+5

α est un nombre réel.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x+5y z = 0.

Soit D′ la droite de l’espace de représentation paramétrique :

x = −3β y = 1+β z = 2+2β

β est un nombre réel.

• Affirmation 2 : D et D′ sont coplanaires.

EXERCICE 4 8 points

Commun à tous les candidats

I Première partie étude d’une fonction f

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =

]

1

2 ; +∞

[

par

f (x)= ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers − 1

2 .

Asie 2 juin 2004

Baccalauréat S juin 2004 A. P. M. E. P.

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g (x)= f (x)− x.

a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β, appartenant à l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g (x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β[, f (x) appartient aussi à ]0 ; β[.

II Deuxième partie étude d’une suite récurrente

On appelle (un )>0 la suite définie par un+1 = f (un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β[.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un )>0 est croissante.

3. Justifier que la suite (un )>0 est convergente.

III Troisième partie Recherche de la limite de la suite (un )>0

1. Montrer que pour tout réel x > 1, f ′(x)6 2

3 .

2. Recherche de la limite de la suite (un )>0

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, ∫β

un

f ′(t)dt 6 2

3

(

βun )

.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, βun+1 6 2

3

(

βun )

, puis à

l’aide d’un raisonnement par récurrence que 06βun 6

(

2

3

)n

.

c. Quelle est la limite de la suite (un )>0 ?

Asie 3 juin 2004

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