Exercitation – algèbre – 7 correction, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 7 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire, exercice de spécialité.
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[ Baccalauréat S 2004\

L’intégrale demars à novembre 2004

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry avril 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Antilles-Guyane juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Asie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Centres étrangers juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Métropole juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Liban juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Polynésie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

La Réunion juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Antilles-Guyane septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Métropole septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Polynésie spécialité septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Nouvelle-Calédonie novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Amérique du Sud novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

année 2004

2

[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S\ mars 2004

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(Sn = k) = (n k

)(10 n

)k ( 1−

10

n

)nk k est

un entier naturel tel que 06 k 6 n.

2. a. Établir l’égalité ln[P(Sn = 0)]=−10× ln

( 1−

10

n

)

−10 n

où ln désigne la fonction

logarithme népérien ; en déduire que lim n→+∞

P(Sn = 0)= e−10.

b. Démontrer que P(Sn = k+1)= P(Sn = knk n−10

× 10

k+1 , où k est un en-

tier naturel tel que 06 k 6n−1.

c. Démontrer que si lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! pour 0 6 k 6 n, alors on a

également lim n→+∞

P(Sn = k+1)= e−10 10k+1

(k+1)! pour 06 k+16 n.

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na-

turel k que lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! où k est un entier naturel tel que

06 k 6 n.

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse

admettre que e−10 10k

k! est une approximation acceptable de P(Sn = k). Utili-

ser cette approximation pour calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carre- four.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) ; on considère les points

A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

année 2004

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x+9y +12z−180 = 0.

d. Montrer que le système

  

x = 0 4y −3z = 0 20x+9y +12z−180 = 0

a une solution

unique. Que représente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2 c ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p, p +10 et p+20, et l’un seulement est divisible par 3.

b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa- chant qu’ils sont premiers.

2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u, v, w) tels que

3u+13v +23w = 0.

a. Montrer que pour un tel triplet v w (mod 3) b. On pose v = 3k + r et w = 3k ′+ r k, k ′ et r sont des entiers relatifs et

06 r 6 2.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

(−13k−23k ′ −12r, 3k+ r, 3k ′+ r ).

c. l’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x+13y +23z = 0. Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées (x, y, z) entières re- latives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.

PROBLÈME 11 points

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on définit sur R la fonction numérique fn par :

f0(x)= 1

1+ x2 et pour n entier naturel non nul fn (x)=

xn

1+ x2 .

On note Γn , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

On désigne par In l’intégrale In = ∫1

0 fn(t)dt .

Partie A

1. a. Étudier les limites de f1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence gra- phique de ces résultats ?

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2004

année 2004

b. Étudier les variations de f1.

c. Tracer la courbe Γ1.

d. Calculer I1.

2. a. Étudier les limites de f3 en +∞. b. Étudier les variations de f3.

c. Tracer la courbe Γ3 sur le même dessin qu’au 1. c..

3. Calculer I1+ I3. En déduire la valeur de I3. 4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes Γ1, Γ3 et

les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

1. a. Étudier les limites de f0 en +∞ et en −∞. b. Étudier les variations de f0.

2. Soit (an ) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an = ∫n

0

1

1+ t2 dt .

a. Interpréter graphiquement an .

b. Montrer que la suite (an ) est croissante.

c. Montrer que pour tout réel t : 1

1+ t2 6 1 et en déduire que a1 6 1.

d. Montrer que pour tout réel t non nul : 1

1+ t2 6

1

t2 et en déduire que pour

tout entier naturel non nul, ∫n

1

1

1+ t2 dt 6 1−

1

n .

e. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier na- turel n non nul, an 6 2. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (an) ?

Partie C

Soit F la fonction telle que :

F (0)= 0, F dérivable sur R et F ′(x)= 1

1+ x2 .

1. On pose, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= F [tan(x)].

a. Calculer H(0).

b. Montrer que H est dérivable sur ] − π

2 ; π

2

[ et calculer H ′(x).

c. En déduire que, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= x.

d. Montrer que F (1)= π

4 .

2. On pose, pour tout x réel positif ou nul, k(x)= F (

1

x+1

) +F

( x x+2

) .

a. Montrer que la fonction k est dérivable sur R+ et déterminer k ′(x).

b. En déduire la valeur de F

( 1

2

) +F

( 1

3

) .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2004

[ Baccalauréat S Pondichéry 1er avril 2004\

Exercice 1 3 points

1. Soit u la suite définie par :

  

u0 = 0

un+1 = 1

2−un pour tout entier naturel n

a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.

b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers

termes de la suite w définie sur N par wn = n

n+1 .

c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout en- tier naturel n, un =wn .

2. Soit v la suite de terme général vn défini par vn = ln ( n n+1

) où ln désigne la

fonction logarithme népérien.

a. Montrer que v1+ v2+ v3 =− ln4. b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :

Sn = v1+ v2+·· ·+ vn .

Exprimer Sn en fonction de n.

Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.

Exercice 2 4 points

Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l’urne U1, deux boules noires dans l’urne U2 et une boule noire dans l’urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé,

• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1, note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;

• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U2, note sa couleur et la remet dans l’urne U2 ;

• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U3, note sa couleur et la remet dans l’urne U3.

On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : « Le dé amène le numéro 1. » B : « Le dé amène unmultiple de trois. » C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. » N : « La boule tirée est noire. »

1. Le joueur joue une partie.

a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à 5

3k .

b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.

c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit su-

périeure à 1

2 .

année 2004

d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale

à 1

30 .

2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule

noire en jouant une partie soit égale à 1

30 .

Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.

Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3, la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une boule noire.

Exercice 3 8 points

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit ϕ la fonction définie sur R par

ϕ(x)= (x2+ x+1)e−x −1.

1. a. Déterminer les limites de ϕ en −∞ et en +∞. b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations

sur R.

2. Démontrer que l’équation ϕ(x)= 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

3. En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau.

Partie B : étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire

Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonc- tions f et g . Les fonctions f et g sont définies sur R par :

f (x)= (2x+1)e−x et g (x)= 2x+1

x2+ x+1 .

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) sont notéesC f

et Cg .

1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)−g (x)= (2x+1)ϕ(x) x2+ x+1

ϕ

est la fonction étudiée dans la partie A.

b. À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x)− g (x) sur R. c. En déduire la position relative des courbes C f et Cg .

2. a. Montrer que la fonction h définie sur R par

h(x)= (−2x−3)e−x − ln ( x2+ x+1

)

est une primitive sur R de la fonction x 7→ f (x)− g (x). b. En déduire l’aire A , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan déli-

mitée par les deux courbes C f et Cg et les droites d’équations x =− 1

2 et

x = 0. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−4 de cette aire.

Pondichéry 7 avril 2004

année 2004

Exercice 4 : enseignement obligatoire 5 points

Partie A

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2−2z+4= 0.

Les solutions seront notées z ′ et z ′′, z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2. Donner la valeur exacte de ( z ′ )2004 sous forme exponentielle puis sous forme

algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; (unité gra-

phique : 2 cm).

1. Montrer que les points A d’affixe 1+i p 3 et B d’affixe 1−i

p 3 sont sur unmême

cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2. On note O′ l’image du point O par la rotation r1 de centre A et d’angle − π

2 et

B′ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle + π

2 .

Calculer les affixes des points O′ et B′ et construire ces points.

3. Soit I le milieu du segment [OB].

a. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO′B′ ?

b. Calculer l’affixe du vecteur −→ AI .

Montrer que l’affixe du vecteur −−−→ O′B′ est égale à 3

p 3− i.

c. La conjecture émise à la question a est-elle vraie ?.

Exercice 4 : exercice de spécialité 5 points

L’espace (E) est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).

1. Dans cette question, on se place dans le plan P0 d’équation x = 0 rapporté au repère

( O,

−→ ,

−→ k ) .

On note C le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle C .

2. OnnommeS la sphère engendrée par la rotation du cercleC autour de l’axe (Oz) et Γ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l’axe (Oz).

a. Démontrer que le cône Γ admet pour équation x2+ y2 = z2. b. Déterminer l’intersection du cône Γ et de la sphère S .

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.

c. Illustrer ces objets par un schéma dans l’espace.

3. On coupe le cône Γ par le plan P1 d’équation x = 1. Dans P1, l’une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

Pondichéry 8 avril 2004

année 2004

4. Soit M(x ; y ; z) un point du cône Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que x et y ne peuvent pas être simultanément impairs.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Pondichéry 9 avril 2004

année 2004

Exercice 3

−1 1 2 3

−1

−0,5

0,5

1

1,5

O

Pondichéry 10 avril 2004

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2004\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du seg- ment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réel m, différent de − 1

3 , on note Gm le barycentre du système de points

pondérés

Sm = {(A, 1), (B, m), (C, 2m)} .

Pour tout point M du plan on note −−→ VM = 3

−−→ MA −

−−→ MB −2

−−→ MC .

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F). Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total

négatif serait ramené à 0. Répondre aux affirmations sur la page annexe.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de

{ (J, 2),

( C,

2

3

)}

Pour tout point M , −−→ VM =

−−→ AB +2−−→AC .

Pour toutm, distinct de − 1

3 , −−−→ AGm est colinéaire à

−−−−→ AG−1 .

IBG− 12 est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réelm tel que P =Gm .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. On veut résoudre dans C l’équation

(E) : z3+4z2+2z−28= 0.

a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive :

(z−2) ( z2+az+b

) = 0.

b. Résoudre (E)

2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant :

z2−4= 4− z2.

année 2004

a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M .

Montrer que :M appartient à (H) si et seulement si

x2− y2 = 4.

b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, −3− i p 5 et −3+ i

p 5.

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).

3. Soit r la rotation de centre O et d’angle − π

4 .

a. Déterminer les affixes de A′, B′ et C′, images respectives de A, B et C par la rotation r (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).

b. On note M ′ l’image par r du point M d’affixe z. On note z ′ l’affixe de M ′. Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y , celles de z ′ sont no- tées x′ et y ′. On note (H′) l’ensemble des points du plan dont l’antécédent par r est un point de (H).

— Exprimer x et y en fonction de x′ et y ′. — En utilisant la question 2. a. prouver que : M ′ appartient à (H′) si et

seulement si

xy ′ =−2.

4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A′, B′, C′, la courbe (H′), puis la courbe (H).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soient les points A, A′, B et B′ d’affixes respectives :

zA = 1−2i, zA′ =−2+4i, zB = 3− i, zB′ = 5i.

1. a. Placer les points A, A′, B et B′ dans le plan complexe. Monter que ABB′A′

est un rectangle.

b. Soit s la réflexion telle que s(A)=A′ et s(B)=B′. On note (∆) son axe.

Donner une équation de la droite (∆) et la tracer dans le plan complexe.

c. On note z ′ l’affixe du point M ′ image par s du point M d’affixe z.

Montrer que

z ′ = ( 3

5 + 4

5 i

) z+2i−1.

2. Soit g l’application du plan dans lui même qui à tout pointM d’affixe z asso- cie le point P d’affixe z ′ définie par :

z ′ = ( − 6

5 − 8

5 i

) z+5− i.

a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes deC et D et placer ces points dans le plan complexe.

b. SoitΩ le point d’affixe 1+i et soit h l’homothétie de centreΩ et de rapport −2. Montrer que C etD sont les images respectives de A′ et B′ par h.

c. Soit M1 d’affixe z1 l’image par h de M , d’affixe z. Donner les éléments caractéristiques de h−1 et exprimer z en fonction de z1.

Amérique du Nord 12 mai 2004

année 2004

3. On pose f = h−1 ◦ g . a. Déterminer l’expression complexe de f .

b. Reconnaître f . En déduire une construction du point P , image par g d’un point M quelconque donné du plan.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette

dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule.

Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes.

— Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros. — Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros. — Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. — Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a dé-

signe un nombre réel positif.

1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).

a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance E(X ) soit nulle.

2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.

a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?

b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la pro- babilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?

c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?

EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation diffé- rentielle :

(En ) y ′+ y =

xn

n! e−x .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur R, vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel,

h′(x)= xn

n! .

Amérique du Nord 13 mai 2004

année 2004

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0)= 0. Quelle est alors la fonction g ?

2. Soit ϕ une fonction dérivable sur R.

a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕg est solution de l’équation :

(F) y ′+ y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0)= 0.

Partie II

Le but de cette partie est de montrer que

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e (on rappelle que par convention 0!= 1).

1. On pose, pour tout x réel,

f0(x)= e−x , f1(x)= xe−x .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y ′+ y = f0. b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la

solution de l’équation différentielle y ′+ y = fn−1 vérifiant fn (0)= 0. En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n> 1 :

fn (x)= xn

n! e−x .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

In = ∫1

0 fn (x)dx. (on ne cherchera pas à calculer In )

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement :

06 fn(x)6 xn

n! .

En déduire que 06 In 6 1

(n+1)! , puis déterminer la limite de la suite (In ).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : Ik Ik−1 =− 1

k! e−1.

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que :

In = 1− n

k=0

e−1

k!

d. En déduire finalement :

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e.

Amérique du Nord 14 mai 2004

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004\

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On définit les suites (an) et (bn) par a0 = 1, b0 = 7 et

  

an+1 = 1

3 (2an +bn )

bn+1 = 1

3 (an +2bn )

Soit Dune droitemunie d’un repère ( O ;

−→ ı ) . Pour tout n ∈N, on considère les points

An et Bn d’abscisses respectives an et bn .

1. Placez les points A0, B0, A1, B1, A2 et B2.

2. Soit (un ) la suite définie par un = bnan pour toutn ∈N. Démontrez que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez un en fonction de n.

3. Comparez an et bn . étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Inter- prétez géométriquement ces résultats.

4. Démontrez que les suites (an) et (bn ) sont adjacentes.

5. Soit (vn) la suite définie par v = an + bn pour tout n ∈ N. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn ] ont tous le même milieu I.

6. Justifiez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

EXERCICE 2 7 points Commun à tous les candidats But de l’exercice : approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appar- tient à l’intervalle [0 ; +∞[.

Soit a ∈ [0 ; +∞[.

On note I0(a)= ∫a

0

1

1+ t dt et pour k ∈N∗, on pose Ik (a)=

a

0

(t a)k

(1+ t)k+1 dt .

1. Calculez I0(a) en fonction de a.

2. À l’aide d’une intégration par parties, exprimez I1(a) en fonction de a.

3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

Ik+1(a)= (−1)k+1ak+1

k+1 + Ik (a) pour tout k ∈N∗.

4. Soit P le polynôme défini sur R par P (x)= 1

5 x5−

1

4 x4+

1

3 x3−

1

2 x2+ x.

Démontrez en calculant I2(a), I3(a) et I4(a), que I5(a)= ln(1+a)−P (a).

5. Soit J (a)= ∫a

0 (t a)5 dt . Calculez J (a).

6. a. Démontrez que pour tout t ∈ [0 ; a], (t a)5

(1+ t)6 > (t a)5.

b. Démontrez que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, J (a)6 I5(a)6 0.

7. En déduire que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, |ln(1+a)−P (a)|6 a6

6 .

année 2004

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P (a) est une valeur approchée de ln(1+a) à 10−3 près.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par ré- ponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être

inférieure à zéro.

On pose z =− √

2+ p 2+ i

√ 2−

p 2.

1. La forme algébrique de z2 est :

A : 2 p 2 B : 2

p 2−2i

p 2 C : 2+

p 2+i

( 2−

p 2 )

D : 2 p 2+2i

p 2

2. z2 s’écrit sous forme exponentielle :

A : 4ei π 4 B : 4e−i

π 4 C : 4ei

3π 4 D : 4e−i

3π 4

3. z s’écrit sous forme exponentielle :

A : 2ei 7π 8 B : 2ei

π 8 C : 2ei

5π 8 D : 2ei

3π 8

4.

√ 2+

p 2

2 et

√ 2−

p 2

2 sont les cosinus et sinus de :

A : 7π

8 B :

5π

8 C :

3π

8 D :

π

8

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le tétraèdre ABCD ; on note Imilieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}. Exprimez

−−→ IG1 en fonction de

−−→ CD . Placez I, J et G1 sur la figure (voir feuille

annexe).

b. SoitG2 le barycentre du systèmedepoints pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2)}.

Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soitm un réel. On noteGm le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C , m−2) ; (D, m)}.

a. Précisez l’ensemble E des valeurs dem pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E .

b. Démontrez queGm , appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteurm −−−→ JGm est constant.

d. En déduire l’ensemble F des pointsGm lorsquem décrit l’ensemble E .

Antilles-Guyane 16 juin 2004

année 2004

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP ) avec (CD). La per- pendiculaire δ à (AP ) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure.

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle π

2 .

a. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rota- tion r .

b. Déterminez les images de R et de P par r .

c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS.

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la

similitude de centre A, d’angle π

4 et de rapport

1 p 2 .

a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. Démontrez que les points M , B, N et D sont alignés.

Antilles-Guyane 17 juin 2004

année 2004

Annexe : exercice 4

A

B

C

D

Antilles-Guyane 18 juin 2004

[ Baccalauréat S Asie juin 2004\ • L’utilisation d’une calculatrice n’est pas autorisé

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ». Aucune justification n’est demandée.

Données Affirmations Réponses f est la fonction définie sur l’ensemble R des nombres

réels par : f (x) = 1

1+ex , C est

la courbe représentative de f dans un repère du plan.

La tangente à C au point d’abs- cisse 0 est parallèle à la droite

d’équation y =− 1

4 x.

G est le barycentre du sys- tème de points pondérés {(A ; −1), (B ; 1), (C ; 4)}

L’application du plan dans lui- même qui à tout point M associe

le pointM ′ tel que −−−−→ MM ′ =−−−→MA +

−−→ MB + 4−−→MC , est une homothétie de rapport −3.

f (x)= x sin3x Les solutions de l’équation f (x) = 1

2 x sont : 0 ;

π

18 + 2k

π

3 ou

5π

18 +

2k π

3 , k et k ′ sont des entiers re-

latifs.

Le barème est le suivant : • Réponse exacte : 1 point. • Réponse fausse : −0,5 point. • Absence de réponse : 0 point. • La note attribuée à l’exercice ne peut être négative.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ e1 ,

−→ e2

) , unité

graphique 1 cm. Soit A le point d’affixe 3i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 3iz−7 z−3i

.

1. Recherche des points invariants par f .

a. Développer (z−7i)(z+ i). b. Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les

affixes et qu’on placera sur un dessin.

2. On appelle Σ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de Σ, distinct de B et de C, soit M ′ son image par f .

a. Justifier que l’affixe z deM vérifie : z = 3i+4eiθ θ est un nombre réel. b. Exprimer l’affixe z ′ de M ′ en fonction de θ et en déduire que M ′ appar-

tient aussi à Σ.

c. Démontrer que z ′ = −z et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique deM ′.

année 2004

3. On considère un cercle de centre A, de rayon r > 0. Déterminer l’image de ce cercle par f .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10= 9+12 ; 13= 9+22 etc. On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 2n a ∈N, n ∈N, n> 4. a. Montrer que si a existe, a est impair.

b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de so- lution.

2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 3n a ∈N, n ∈N, n> 3. a. Montrer que si n> 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

c. On pose n = 2p p est un entier naturel, p > 2. Déduire d’une factori- sation de 3n a2, que l’équation proposée n’a pas de solution.

3. étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 5n a ∈N, n ∈N, n> 2. a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n

est impair.

b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2 c démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2+9 soit une puissance entière de 5.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On appelle P le plan d’équation 2xy+5= 0 et Q le plan d’équation 3x+ yz = 0.

1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :

  

x = α y = 2α+5 z = 5α+5

α est un nombre réel.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x+5y z = 0. Soit D′ la droite de l’espace de représentation paramétrique :

  

x = −3β y = 1+β z = 2+2β

β est un nombre réel.

• Affirmation 2 : D et D′ sont coplanaires.

EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats

I Première partie étude d’une fonction f

Asie 20 juin 2004

année 2004

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =

] − 1

2 ; +∞

[ par

f (x)= ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers − 1

2 .

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g (x)= f (x)− x. a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β, appartenant à l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g (x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β[, f (x) appartient aussi à ]0 ; β[.

II Deuxième partie étude d’une suite récurrente

On appelle (un )>0 la suite définie par un+1 = f (un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β[.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un )>0 est croissante.

3. Justifier que la suite (un )>0 est convergente.

III Troisième partie Recherche de la limite de la suite (un)>0

1. Montrer que pour tout réel x > 1, f ′(x)6 2

3 .

2. Recherche de la limite de la suite (un )>0

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, ∫β

un

f ′(t)dt 6 2

3

( βun

) .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, βun+1 6 2

3

( βun

) , puis à

l’aide d’un raisonnement par récurrence que 06βun 6 ( 2

3

)n .

c. Quelle est la limite de la suite (un )>0 ?

Asie 21 juin 2004

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique : 2 cm.

On appelle A le point d’affixe −2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe

z ′ =−2z+2i.

1. On considère le point B d’affixe b = 3−2i. Déterminer la forme algébrique des affixes a′ et b′ des points A′ etB ′ associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Montrer que si M appartient à la droite (∆) d’équation y = −2 alors M ′ ap- partient aussi à (∆).

3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , ∣∣z ′+2i

∣∣ = 2|z +2i| ; interprétez géométriquement cette égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle θ un argument de z+2i.

a. Justifier que θ est une mesure de l’angle (−→ u ,

−−→ AM

) .

b. Démontrer que (z+2i)(z ′+2i) est un réel négatif ou nul. c. En déduire un argument de z ′+2i en fonction de θ. d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM ′) ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M ′ associé au point M .

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Unemployé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 (. Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le len-

demain est 1

5 , s’il est en retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le

lendemain est 1

20 .

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On note pn , la probabilité de Rn et qn , celle de Rn . On suppose que p1 = 0.

1. Détermination d’une relation de récurrence.

a. Déterminer les probabilités conditionnelles pRn (Rn+1) et pRn (Rn+1).

b. Déterminer p (Rn+1∩Rn ) en fonction de pn et p ( Rn+1∩Rn

) en fonction

de qn

c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn .

d. En déduire que pn+1 = 1

5 −

3

20 pn .

2. Étude de la suite ( pn

) .

Pour tout entier naturel non nul n, on pose vn = pn − 4

23 .

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 3

20 .

année 2004

b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.

c. Justifier que la suite ( pn

) est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant : « Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? » Pour tout entier naturel p> 2, on pose Np = 1. . . 1 où 1 apparaît p fois. On rappelle dès lors que Np = 10p−1+10p−2+·· ·+100.

1. Les nombres N2 = 11, N3 = 111, N4 = 1111 sont-ils premiers ?

2. Prouver que Np = 10p −1

9 . Peut-on être certain que 10p −1 est divisible par

9 ?

3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors Np n’est pas premier.

On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul,

xn −1= (x−1) ( xn−1+ xn−2+·· ·+ x+1

) .

a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q , où q est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N2 = 11. b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q , où q est un entier

naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N3 = 111. c. On suppose p non premier et on pose p = kq k et q sont des entiers

naturels plus grands que 1.

En déduire que Np est divisible par Nk .

4. énoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier.

Cette condition est-elle suffisante ?

EXERCICE 3 9 points Commun à tous les candidats

On s’intéresse à des courbes servant demodèle à la distribution de lamasse salariale d’une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes : (1) f (0)= 0 et f (1)= 1 ; (2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] (3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f (x)6 x.

Le plan est rapporté au repère orthonormalR = ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 10 cm.

I. Première partie étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que g (x)− x = x

e (ex −e) et en déduire que g vérifie la condition (3).

Centres étrangers 23 juin 2004

année 2004

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II. Seconde partieUn calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice I f égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équa- tions y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que I f = ∫1

0

[ xf (x)

] dx.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig , associé à g .

3. On s’intéresse aux fonctions fn , définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= 2xn

1+ x n est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose In = ∫1

0

[ xfn (x)

] dx et un =

∫1

0 fn(x)dx. Prouver que

In = 1

2 −un .

b. Comparer tn+1

1+ t et

tn

1+ t sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un )

est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

06 tn+1

1+ t 6 tn .

d. En déduire que pour tout entier naturel n> 2, 06 un 6 2

n+1 .

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

Centres étrangers 24 juin 2004

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat SMétropole juin 2004\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

On considère la suite (un ) définie par

{ u0 = 1 un+1 = un +2n+3 pour tout entier naturel n.

1. Étudier la monotonie de la suite (un ).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un >n2. b. Quelle est la limite de la suite (un ) ?

3. Conjecturer une expression de un , en fonction de n, puis démontrer la pro- priété ainsi conjecturée.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et

d’argument π

2 .

1. Montrer que (1+ i)6 =−8i. 2. On considère l’équation (E) : z2 =−8i.

a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E).

b. L’équation (E) possèdeune autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.

3. Déduire également de 1. une solution de l’équation (E’) z3 =−8i.

4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle 2π

3 .

a. Déterminer l’affixe b du point B , image de A par r , ainsi que l’affixe c du point C , image de B par r .

b. Montrer que b et c sont solutions de (E′).

5. a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C .

b. Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?

c. Déterminer le centre de gravité de cette figure.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :

(x−1) ( 1+ x+ x2+·· ·+ xk−1

) = xk −1.

Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk. Montrer que ad −1 est un diviseur de an −1.

année 2004

b. Déduire de la question précédente que 22004−1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.

3. Soientm et n deux entiers naturels non nuls et d leur pgcd.

a. On définitm′ et n′ parm = dm′ et n = dn′. En appliquant le théorème de Bezout àm′ et n′, montrer qu’il existe des entiers relatifs u et v tels que : munv = d .

b. On suppose u et v strictement positifs.

Montrer que : (amu −1)− (anv −1)ad = ad −1. Montrer ensuite que ad −1 est le pgcd de amu −1 et de anv −1.

c. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de 263−1 et de 260−1.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat in- diquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne le point

S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation x+ y −3z+4= 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et per- pendiculaire au plan P est :

A :

  

x = 1+ t y = 1−2t z = −3

, t ∈R B :

  

x = 2+ t y = −1+ t z = 1−3t

, t ∈R

C :

  

x = 1+ t y = −2−2t z = 3t

, t ∈R D :

  

x = 2+ t y = −1+ t z = −3−3t

, t ∈R.

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B : ( 6

5 ; −9 5

; 3

5

) C :

( 7

9 ; −2 3

; 1

3

) D;

( 8

11 ; −25 11

; 9

11

)

3. La distance du point S au plan P est égale à :

A :

p 11

3 B :

3 p 11

C : 9

p 11

D : 9

11

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale

A : au point I(1 ; −5 ; 0)

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3 √

10

11 C : au cercle de centre S et de rayon r = 2

D : au cercle de centre H et de rayon r = 3 p 10

11 .

Métropole 26 juin 2004

année 2004

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électro- nique. Onmodélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est

p([0 ; t [)= ∫t

0 λe−λx dx.

Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces com- posants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[)= 0,5.

1. Montrer que λ= ln2

200 .

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une du- rée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une va- leur approchée décimale au centième près.

3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite

quand A tend vers +∞ de ∫A

0 λxe−λx dx.

a. Montrer que ∫A

0 λxe−λx dx =

λAe−λA −e−λA+1 λ

b. En déduire dm on donnera la valeur exacte et une valeur approchée déci- male à la semaine près.

Exercice 5 4 points Commun à tous les candidats

O H

−→ F

x

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est

soumis à une force d’entraînement constante −→ F de valeur 50 N. Les forces de frot-

tement sont proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de pro- portionnalité a pour valeur absolue 25 N.m−1.s. La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l’ori- gine O du repère en fonction du temps t , exprimé en secondes. On prendra t dans l’intervalle [0 ; +∞[. Les lois de Newton conduisent à l’équation différentielle du mouvement

(E) 25x′+200x′′ = 50, où

Métropole 27 juin 2004

année 2004

x′ est la dérivée de x par rapport au temps t , x′′ est la dérivée seconde de x par rapport au temps t .

1. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t)= x′(t). Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x′ est solution de l’équa-

tion différentielle (F) v ′ =− 1

8 v +

1

4 .

Résoudre l’équation différentielle (F).

2. On suppose que, à l’instant t = 0, on a : x(0)= 0 et x′(0)= 0. a. Calculer, pour tout nombre réel t positif, x′(t).

b. En déduire que l’on a, pour tout nombre réel t positif,

x(t)= 2t −16+16e −t 8 .

3. Calculer V = lim t→+∞

v(t) . Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle

inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V ?

4. Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

Métropole 28 juin 2004

[ Baccalauréat S Liban juin 2004\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : lesmédecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). 12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants. 67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.

On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 104 près.

1. On interroge au hasard unmembre du personnel de cet hôpital.

a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?

b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?

c. On sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’inter- roger une femme AT.

Endéduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.

2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].

On interroge au hasard unmembre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?

3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise).

Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra pour unité gra-

phique 2 cm.

1. Résoudre dans C l’équation

(z−2i) ( z2−2z+2

) = 0.

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (jus- tifier les réponses).

2. Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1+ i et zB = 2i. À tout complexe z différent de A on associe le complexe

z ′ = z−2i z−1− i

.

a. Soit (E ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit imaginaire pur.

Montrer que B ∈ (E ). Déterminer et construire l’ensemble (E ).

année 2004

b. Soit (F ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que ∣∣z

∣∣= 1. Déterminer et construire (F ).

3. Soit R la rotation de centreΩ

( 3

2 ; 5

2

) et d’angle

π

2 .

a. Calculer l’affixe du point B ′, image de B par R et l’affixe du point I ′, image

par R du point I

( 1

2 ; 3

2

) .

b. Quelles sont les images de (E ) et (F ) par R ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 2+ i, zB = 1+2i, zC = 6+3i, zD =−1+6i.

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Montrer qu’il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) = D.

Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments carac- téristiques.

3. Soit J le point d’affixe 3+5i. Montrer que la rotation R de centre J et d’angle −

π

2 transforme A en D et C

en B.

4. On appelle I le point d’affixe 1+ i, M et N les milieux respectifs de segments [AC] et [BD].

Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.

5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD sont des carrés directs.

a. Calculer les affixes zP et zQ des points P etQ .

b. Déterminer IP

IA et

IQ

IC ainsi qu’unemesure des angles

(−→ IA ,

−→ IP

) et

(−→ IC ,

−→ IQ

) .

En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g (A) = P et g (C)=Q .

c. En déduire que J est l’image deM par g . Que peut-on en déduire pour J ?

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.

a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,

kn

n! 6

kk

k! .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,

xn

n! 6

( x k

)n × kk

k! .

Liban 30 juin 2004

année 2004

c. Montrer que

lim n→+∞

xn

n! = 0.

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,

nn−1

n! > 1.

(on pourra écrire nn−1

n! comme un produit de n−1 facteurs supérieurs ou

égaux à 1).

b. En déduire que

lim n→+∞

nn

n! =+∞.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= x+ ln4+ 2

ex +1 ,

et (C ) sa représentation graphique dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de f en +∞, et sa limite en −∞. 2. Calculer, pour tout réel x, f (x)+ f (−x).

Que peut-on en déduire pour le point A(0 ; 1+ ln4) ? 3. Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de varia-

tions.

4. a. Justifier que, pour tout réel m, l’équation f (x) = m admet une solution unique dans R.

b. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 de la solution a de l’équa- tion f (x)= 3. Justifier la réponse.

c. Pour quelle valeur de m le nombre −a est-il la solution de l’équation f (x)=m ?

5. a. Montrer que pour tout réel x, f (x)= x+2+ ln4− 2ex

ex +1 .

b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x+ln4 et la droite (∆′) d’équation y = x+2+ ln4 sont des asymptotes de la courbe (C ). Étudier la position de la courbe (C ) par rapport à son asymptote (∆).

6. a. On considère un réel positif α.

Que représente l’intégrale :

I (α)= ∫α

0

[ f (x)− x− ln4

] dx?

b. Montrer que I (α)= 2ln (

2eα

eα+1

) . (On pourra utiliser le résultat de la ques-

tion 5 a).

c. Calculer α pour que I (α) = 1, puis donner une valeur approchée de α à 10−1 près.

Liban 31 juin 2004

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2004\

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de pa- ramètre λ avec λ> 0. Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.

1. Sachant que p(X > 10)= 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de λ est 0,125.

On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope dumodèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabi- lité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans ?

4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la pro- babilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supé- rieure à 0,999 ?

Rappel :

Loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; +∞[, dite aussi loi de durée de vie sans vieillissement :

pour 06 a6 b, p([a ; b])= ∫b

a λe−λt dt et

pour c > 0, p([c ; +∞[)= 1− ∫c

0 λe−λt dt .

EXERCICE 2 5 points Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra

pour unité graphique 1 cm.

1. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives :

zA = 3+2i, zB =−3 et zI = 1−2i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z = zI− zA zI− zB

.

Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?

c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.

d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, −1) ; (C , 1)} ; calculer l’affixe zD du point D.

e. Montrer que ABCD est un carré.

année 2004

2. Déterminer et construire l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que :

∥∥∥−−→MA −−−→MB +−−−→MC ∥∥∥=

1

2

∥∥∥−−→MA +−−−→MC ∥∥∥ .

3. On considère l’ensemble Γ2 des points M du plan tels que

∥∥∥−−→MA −−−→MB +−−−→MC ∥∥∥= 4

p 5.

a. Montrer que B appartient à Γ2.

b. Déterminer et construire l’ensemble Γ2.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra pour unité

graphique 3 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que

a= 3 b= 1+ 2

3 i c= 3i et d=−

1

3 i.

1. Représenter les points A, B, C et D.

2. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C en D.

3. Donner l’écriture complexe de s. En déduire l’affixe du centre I de s.

4. Soit M le point de coordonnées (x ; y) et M ′(x′ ; y ′) son image par s.

Montrer que :

  

x′ = − 1

3 y +1

y ′ = 1

3 x

1

3 5. On construit une suite (Mn) de points du plan en posant

  

M0 = A et, pour tout entier naturel n Mn+1 = s(Mn )

Pour tout entier naturel, on note zn l’affixe du point Mn et on pose rn = |zn −1|. a. Montrer que (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier

terme et la raison.

b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que IMk 6 10 −3.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur R par :

fk (x)= x+ 1−kex

1+kex .

a. Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :

(E) : 2y ′ = (y x)2+1.

b. En déduire le sens de variations de fk sur R.

Polynésie 33 juin 2004

année 2004

2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Sur l’annexe, on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D′ d’équation y = x+1 et plusieurs courbesCk correspondant à des valeurs par- ticulières de k.

Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ′ passant par le point A de coordonnées (1 ; 1).

3. On remarque que, pour tout x réel, on a :

fk (x)= x−1+ 2

1+kex (1) et fk (x)= x+1−

2kex

1+kex (2).

En déduire pour tout k strictement positif :

— la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D ′.

— les asymptotes de la courbe Ck .

4. Cas particulier : k = 1. a. Justifier que f1 est impaire

b. Soit la fonction F définie sur R par :

F (x)= ∫x

0 f1(t)dt .

Interpréter graphiquement le réel F (x) dans les deux cas : x > 0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.

c. Déterminer les variations de F sur R.

d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F (x).

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

On considère la suite (In )n∈N définie par :

In = ∫1

0

e−t 2

1+n+ t dt .

1. a. Déterminer le sens de variations de cette suite.

b. Montrer que (In )n∈N , est une suite positive.

c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a e−t

2

1+ t +n 6

1

1+n et en déduire que

06 In 6 1

n+1 .

Que peut-on en conclure quant à la convergence de (In )n∈N ?

2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par :

f (x)= e−x + x−1 et g (x)= 1− x+ x2

2 −e−x .

a. Étudier le sens de variations et le signe de f .

b. En déduire le sens de variations de g sur [0 ; 1].

c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement :

1− x 6 e−x 6 1− x+ x2

2 .

d. En déduire un encadrement de e−t 2 pour tout t appartenant à [0 ; 1].

Polynésie 34 juin 2004

année 2004

e. Établir l’encadrement :

2

3(n+2) 6 In 6

23

30(n+1)

f. Donner une valeur de p telle que Ip 6 10−2.

Polynésie 35 juin 2004

année 2004

Document à rendre avec la copie

Annexe

-3-2-103 -4-3-2-101 234

A

D′

D

O

C

C ′

−→ ı

−→

Polynésie 36 juin 2004

[ Baccalauréat S La Réunion juin 2004\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= 1− x2e1−x 2 .

Son tableau de variations est le suivant :

x 0 1 +∞

f (x)

1

0

1

Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.

A - Lecture graphique

1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, pré- ciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation f (x)= k.

2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles

l’équation f (x)= 1

n admet deux solutions distinctes.

B - Définition et étude de deux suites

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que l’équation f (x)= 1

n admet

deux solutions un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +∞[.

2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2 ; 3 ;4}.

3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites (un ) et (vn) sont adjacentes.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; i désigne

le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 .

Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+ i et −1+ i. Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M ′ du plan d’affixe z ′ tel que :

z ′ = iz+2 z− i

.

1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f .

année 2004

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation :

(z ′− i)(z− i)= 1.

c. Soit D le point d’affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D′ image du point D par l’ application f .

2. Soit R un nombre réel strictement positif.

Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M ′ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b. Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur −→ u . Détermi-

ner l’ image de la droite D privée du point A par l’application f .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « soit p un nombre premier et a un entier naturel premier avec p ; alors ap−1−1 est divisible par p ».

1. Soit p un nombre premier impair.

a. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul, tel que 2k ≡ 1 [p]. b. Soit k un entier naturel non nul tel que 2k ≡ 1 [p] et soit n un entier

naturel. Montrer que, si k divise n, alors 2n ≡ 1 [p]. c. Soit b tel que 2b ≡ 1 [p], b étant le plus petit entier non nul vérifiant

cette propriété.

Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2n ≡ 1 [p], alors b divise n.

2. Soit q un nombre premier impair et le nombre A = 2q −1. On prend pour p un facteur premier de A.

a. Justifier que : 2q ≡ 1 [p]. b. Montrer que p est impair.

c. Soit b tel que 2b ≡ 1 [p], b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.

Montrer, en utilisant 1. que b divise q . En déduire que b = q . d. Montrer que q divise p−1, puis montrer que p ≡ 1 [2q].

3. Soit A1 = 217−1. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme34m+1, avecm entier nonnul : 103, 137, 239, 307. Endéduire que A1 est premier.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

La Réunion 38 juin 2004

année 2004

Première partie

Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1, 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5880 sont exactes, B2, contenant 4000 adresses, dont 200 sont erronées et 3800 sont exactes.

1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A :

(120 3

) + (5880

7

) (6000

10

) B : 3

120

C :

( 10

3

) × ( 120

6000

)3 × ( 5880

6000

)7 D :

( 10

3

) × (

3

120

)3 × (

7

5880

)7

2. Parmi les 10000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’éti- quette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :

A : 0,98 B : 0,4×0,95

0,6×0,98+0,6×0,02 C : 0,6×0,98 D :

0,6×0,98 0,6×0,98+0,4×0,95

Deuxième partie

La durée de vie, exprimée enheures, d’un robot jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ (loi exponentielle de paramètre λ= 0,0005). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est :

p ([0 ; t [)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2500 heures est :

A : e− 2500 2000 B : e

5 4 C : 1−e−

2500 2000 D : e−

2000 2500

2. La durée de vie moyenne d’un robotménager est donnée par la formule :

E = lim t→+∞

t

0 λxe−λx dx.

a. L’intégrale ∫t

0 λxe−λx dx est égale à :

A : λ t2

2 e−λt B : − te−λt

e−λt

λ +

1

λ C : λte−λt λe−λt λ D : te−λt

e−λt

λ b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :

A : 3500 B : 2000 C : 2531,24 D : 3000

EXERCICE 4 6 points Commun à tous les candidats

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f ′ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes : (1) pour tout nombre réel x,

[ f ′(x)

]2− [ f (x)

]2 = 1, (2) f ′(0)= 1, (3) la fonction f ′ est dérivable sur R.

La Réunion 39 juin 2004

année 2004

1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′(x) 6= 0. b. Calculer f (0).

2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :

(4) pour tout nombre réel x, f ′′(x)= f (x), où f ′′ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .

3. On pose : u = f ′+ f et v = f ′− f . a. Calculer u(0) et v(0).

b. Démontrer que u′ =u et v ′ =−v . c. En déduire les fonctions u et v .

d. En déduire que, pour tout réel x, f (x)= ex −e−x

2 .

4. a. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞. b. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

5. a. Soitm un nombre réel. Démontrer que l’équation f (x)=m a une unique solution α dans R.

b. Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10−2 près).

La Réunion 40 juin 2004

année 2004

ANNEXE DE L’EXERCICE 1

À compléter et à rendre avec la copie

01

0 1

2 x

y

O

C

La Réunion 41 juin 2004

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2004\

EXERCICE 1 5 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= xe−x+2.

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

Partie A

1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; +∞[ et déterminer les éven- tuelles asymptotes de la courbe représentative.

2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation

f (x)= ln(x) sur [1 ; +∞[.

b. Montrer que la fonction g définie sur R∗+ par :

g (x)= ln(x)− f (x)

est strictement croissante sur [1 ; +∞[. En déduire que l’équation f (x) = ln(x) admet une unique solution α sur [1 ; +∞[.

c. Déterminer à 10−3 près une valeur approchée de α.

Partie B

1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer :

I= ∫3

0 x2e−2x dx.

2. On définit le solide S obtenu par révolution autour l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f (x) pour 06 x 6 3 dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité 4 cm). On rappelle que le volume V du solide est donné par :

V =π ∫3

0 [ f (x)]2dx.

a. Exprimer V en fonction de I.

b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un tri- angle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA′, ACB′ et ABC′. On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravité res- pectifs des triangles B CA′, ACB′ et ABC′.

année 2004

• A

•B • C

• A′

• B′

•C′

• P

• Q

•R

On note a, b, c, a′, b′, c ′, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A′, B′, C′, P, Q et R.

1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C′ est l’image de A dans une rotation d’angle de mesure dont on précisera le centre.

b. Montrer que a′+b′+c ′ = a+b+c. 2. En déduire que p+q+ r = a+b+c. 3. En déduire que les triangles ABC, A′B′C′ et PQR ont même centre de gravité.

4. Montrer que :

3(qp)= (b′−c)+ (ca′)+ (ab).

On admettra que, de même : 3(r p)= (ac)+ (ba′)+ (c ′−b). 5. Justifier les égalités suivantes :

ac = ei π 3 (b′−c) ; ba′ = ei

π 3 (ca′) ; c ′−b = ei

π 3 (ab).

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.

EXERCICE 3 (OBLIGATOIRE) 5 points ( O,

−→ u ,

−→ v ) est un repère orthonormal du plan P .

Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1. Soit F l’application deP privé deOdansP qui, à tout pointM distinct de O, d’affixe

z , associe le point M ′ = F (M) d’affixe z ′ = −1 z

.

1. a. Soit E le point d’affixe ei π 3 , on appelle E′ son image par F . Déterminer

l’affixe de E′ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F .

2. a. Soit K le point d’affixe 2ei 5π 6 et K′ l’image de K par F . Calculer l’affixe de

K′.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F .

3. On désigne par R un point d’affixe 1+ eiθ θ ∈]−π ; π[ ; R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que z ′+1= z−1 z

.

En déduire que ∣∣z ′+1

∣∣= ∣∣z

∣∣ .

Antilles-Guyane 43 septembre 2004

année 2004

b. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1+eiθ θ décrit l’intervalle ]−π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat de a..

EXERCICE 3 (SPÉCIALITÉ) 5 points

Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justi- fiant le choix effectué.

1. Le PGCD de 2004 et 4002 est 6.

2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq −1 est divisible par 2p −1 et par 2q −1.

3. Pour tout n deN∗, 2n −1 n’est jamais divisible par 9. 4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation :

24x+35y = 9

est l’ensemble des couples :

(−144+70k ; 99−24k) où k ∈Z.

5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de

centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport 1

3 alors

g f est la translation de vecteur −−→AB. . 6. Soit s la similitude d’écriture complexe z ′ = iz+ (1− i), l’ensemble des points

invariants de s est une droite.

EXERCICE 4 5 points

Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée. Les trois questions sont indépendantes.

1. La probabilité pour un individu d’une population d’être atteint d’une mala- dieM est égale à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que

• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50% des cas ;

• le test est positif pour 3% des personnes saines. Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif ?

 0,95  0,9  0,15  0,05

2. On considère une planche à clous de ce type :

clou

B

0,3 0,7

R1 R2 R3 R4

Antilles-Guyane 44 septembre 2004

année 2004

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une proba- bilité de 0,3 d’aller vers la gauche et 0,7 d’aller vers la droite (gauche et droite relatives à l’observateur).

On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.

Que valent p1 et p2 ?

 p1 = p2 = 0,5  p1 = 0,216 et p2 = 0,784  p1 = 0,468 et p2 = 0,532  p1 = 0,468 et p2 = 0,432.

3. Les 1000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur : 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234 8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964 4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914 5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737 2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367 8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943 3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480 7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129 8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986 0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320 0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721 4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354 2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605 1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599 0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017 1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035 9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781 8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894

En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau sui- vant :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106

Avec un tableur, on a simulé 1000 expériences de 1000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.

Pour chaque expérience, on a calculé d2 = k=9∑

k=0

( fk −0,1

)2 où fk représente,

pour l’expérience, la fréquence observée du chiffre k.

On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 etQ3) et la médiane (Me) :

d1 = 0,000422 ; Q1 = 0,000582 ; Me= 0,000822 ; Q3 = 0,001136 ; d9 = 0,00145. En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1000 premières décimales de π, on obtient :

 0,000456  0,00456  0,000314

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π, fait l’hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10% de rejeter cette hypo- thèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?

Antilles-Guyane 45 septembre 2004

année 2004

 Oui  Non  Il ne peut pas conclure.

Antilles-Guyane 46 septembre 2004

Durée : 4 heures

Baccalauréat SMétropole septembre 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment

donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer

clairement sur la copie.

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

g (x)= 1

x ( x2−1

) .

a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x > 1 :

g (x)= a

x +

b

x+1 +

c

x−1 .

b. Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

f (x)= 2x

( x2−1

)2 .

Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[. 3. En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer :

I = ∫3

2

2x ( x2−1

)2 lnx dx.

Ondonnera le résultat exact sous la forme p ln 2+q ln3, avec p et q rationnels.

EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.

Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de l’équation xy = yx (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.

1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à lnx

x =

ln y

y .

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

h(x)= lnx

x .

La courbe C représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x0 est l’abscisse dumaximum de la fonction h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. a. Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et déterminer la limite de la

fonction h en 0.

année 2004

b. Calculer h′(x), où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrou- ver les variations de la fonction h.

Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0).

c. Déterminer l’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

3. Soit λ un élément de l’intervalle

] 0 ;

1

e

[ .

Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tels que h(a)= h(b)=λ. Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).

4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[ tel que h(a)= h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).

Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux ques- tions suivantes

a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?

b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?

c. Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s.

5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de particules : 75% de parti- cules A et 25% de particules B. Les particules sont projetées sur une cible formée de deux compartiments KI et K2. L’expérience est modélisée de la façon suivante :

— une particule au hasard parmi les particules de type A entre dans K1 avec la

probabilité 1

3 et dans K2 avec la probabilité

2

3 ;

— une particule au hasard parmi les particules de type B entre dans chacun des

compartiments avec la probabilité 1

2 .

Partie A

1. Soit une particule au hasard.

Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A1 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 »,

A2 : « la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 »,

B1 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 »,

B2 : « la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 »,

C1 : « la particule entre dans K1 »,

C2 : « la particule entre dans K2 ».

2. On procède cinq fois de suite et de façon indépendante à l’épreuve décrite en introduction.

Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les proportions 75% et 25% restent constantes.

Calculer la probabilité de l’évènement E suivant : « il y a exactement deux particules dans K2 ».

Métropole 48 septembre 2004

année 2004

Partie B

Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A sont radioactives et se transforment spontanément en particules B ; chaque particule A donne en se transformant une particule B. On note p(t) la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l’instant t = 0, on a p(0)= 0,75. Plus généralement, si t est exprimé en années, on a p(t) = 0,75e−λt , où λ est une constante réelle. La demi-vie 1 des particules de type A est égale à 5730 ans.

1. Calculer λ ; on prendra une valeur approchée décimale à 10−5 près par dé- faut.

2. Au bout de combien d’années 10% des particules de type A se seront-elles transformées en particules de type B ?

3. Déterminer la valeur de t pour laquelle il y aura autant de particules de type A que de particules de type B (on arrondira à l’unité).

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique

1 cm).

1. Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation suivante :

z2−8z p 3+64= 0.

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes

a = 4 p 3−4i et b = 4

p 3+4i.

a. Écrire a et b sous forme exponentielle.

b. Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB.

3. On désigne par C le point d’affixe c =− p 3+ i et par D son image par la rota-

tion de centre O et d’angle − π

3 .

Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des trois points pondérés (O;−1), (D ; + 1), (B ; + 1).

a. Justifier l’existence de G et montrer que ce point a pour affixe

g = 4 p 3+6i.

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.

c. Montrer que les points C, D et G sont alignés.

d. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. Quelle est la nature du triangle AGC?

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.

1. temps au bout duquel le nombre de particules restantes est la moitié du nombre initial.

Métropole 49 septembre 2004

année 2004

A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C. Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc(−−→ BC ,

−−→ BD

) =+

π

3 [2π].

Le pointG est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M .

Partie A

1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.

2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le pointG est le milieu du segment [CM].

3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C trans- formant B en M .

Partie B

Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et 1. Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral direct ; on a donc(−−→ AC ,

−−→ AE

) =+

π

3 [2π].

1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.

2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe z ′ = 3+ i

p 3

4 z+

1− i p 3

4 .

Déterminer les éléments caractéristiques de σ et en déduire que σ est la si- militude réciproque de s.

3. Montrer que l’image E ′ du point E par σ a pour affixe − 1

2 + i

p 3

2 et montrer

que le point E ′ appartient au cercle Γ.

4. On note C le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C.

Montrer que le point E appartient à C .

Soit O′ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O′ est le centre de gravité du triangle ACE .

En déduire une construction de C .

Métropole 50 septembre 2004

année 2004

ANNEXE DE L’EXERCICE 2

À rendre avec la copie

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Courbe C , obtenue à l’aide d’un traceur de courbes

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

Annexe spécialité

CA

B

Γ

Métropole 51 septembre 2004

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Polynésie septembre 2004

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx p x +1− x.

0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

O

−→

−→ ı

C

α

1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f ′(x) est du signe de

N (x)=− [ 2 ( x p x−1

) + lnx.

]

b. Calculer N (1) et déterminer le signe de N (x) en distinguant les cas

0< x < 1 et x > 1. c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ et les coordonnées du

point de C d’ordonnée maximale.

2. On note A (α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un réel de ]0 ; 1[.

a. Exprimer A (α) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties).

b. Calculer la limite de A (α) lorsque α tend vers 0. Donner une interpréta- tion graphique de cette limite.

3. On définit une suite (un )n∈N par son premier terme u0 élément de [1 ; 2] et :

pour tout entier naturel n, un+1 = lnunp un

+1.

a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité

06 lnx p x 6 1.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [1 ; 2].

4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un)+un , détermi- ner le sens de variation de la suite (un ).

5. a. Montrer que la suite (un )n∈N est convergente. On note sa limite.

b. Déterminer la valeur exacte de .

année 2004

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra 2 cm pour

unité graphique. Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M ′ et M ′′ d’affixes res- pectives

z ′ = z−2 et z ′′ = z2.

1. a. Déterminer les points M pour lesquels M ′′ =M . b. Déterminer les points M pour lesquels M ′′ =M ′.

2. Montrer qu’il existe exactement deuxpointsM1 etM2 dont les imagesM′1 , M ′′ 1 , M

′ 2

et M′′2 appartiennent à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.

3. On pose z = x+ iy x et y sont des nombres réels.

a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe z ′′− z z ′− z

.

b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M , M ′ etM ′′ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.

4. On pose z = p 3eiθ θ

[ 0 ;

π

2

] .

a. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles Γ′ et Γ′′ des points M ′ et M ′′ associés àM .

b. Représenter Γ, Γ′ et Γ′′ sur la figure précédente

c. Dans cette question θ = π

6 . Placer le point M3 obtenu pour cette valeur

de θ, et les points M′3 et M ′′ 3 qui lui sont associés. Montrer que le triangle

M3M′3M ′′ 3 est rectangle. Est-il isocèle ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra, sur la fi-

gure 1 cm pour unité graphique. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i, 3+2i et i

p 2.

1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ = f (M) d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 1+ i p 2 z−1+ i

( 1+

p 2 ) .

a. Calculer les affixes des points A′ = f (A) et C′ = f (C). b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.

c. Placer les points A, B et C puis construire le point B′ = f (B).

2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapportp 2.

b. Montrer que la composée g = f h a pour écriture complexe z ′′ = (1+ i)z−1+3i.

3. a. Soit M0 le point d’affixe 2 - 4 i.

Déterminer l’affixe du point M′′0 = g (M0) puis vérifier que les vecteurs −−→ AB

et −−−→ AM′′0 sont orthogonaux.

Polynésie 53 septembre 2004

année 2004

b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont des entiers.

Démontrer que les vecteurs −−→ AB et

−−−→ AM ′′ sont orthogonaux si, et seule-

ment si 5x+3y =−2. c. Résoudre dans Z2 l’équation 5x+3y =−2. d. En déduire les points M dont les coordonnées sont des entiers apparte-

nant à l’intervalle [−6 ; 6] tels que −−→AB et −−−→ AM ′′ sont orthogonaux. Placer

les points obtenus sur la figure.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés. Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3. Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre −1. On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre lu sur le canon de U et b celui lu sur le carton de V.

1. Justifier que les points pondérés (A, a), (B, b) et (C, 4) admettent un bary- centre. On le noteG.

2. a. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 «G appartient à la droite (BC) » ;

E2 «G appartient au segment [BC] ».

b. Montrer que la probabilité de l’évènement E3 : «G est situé à l’intérieur du

triangle ABC et n’appartient à aucun des côtés » est égale à 2

5 . On pourra

faire appel des considérations de signe.

3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentreG de la question 1.

On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’évènement E3.

a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.

b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0,999.

Polynésie 54 septembre 2004

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie\ novembre 2004

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on consi-

dère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2−4z.

1. Soient A et B les points d’affixes zA = 1− i et zB = 3+ i. a. Calculer les affixes des points A′ et B′ images des points A et B par f .

b. On suppose que deux points ont la même image par f . Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie cen- trale que l’on précisera.

2. Soit I le point d’affixe −3. a. Démontrer que OMIM ′ est un parallélogramme si et seulement si

z2−3z+3= 0. b. Résoudre l’équation z2−3z+3= 0.

3. a. Exprimer ( z ′+4

) en fonction de (z − 2). En déduire une relation entre∣∣z ′+4

∣∣ et |z−2| puis entre arg ( z ′+4

) et arg(z−2).

b. On considère les points J et K d’affixes respectives zJ = 2 et zK =−4. Démontrer que tous les points M du cercle (C ) de centre J et de rayon 2 ont leur imageM ′ sur un même cercle que l’on déterminera.

c. Soit E le point d’affixe zE =−4−3i. Donner la forme trigonométrique de (zE+4) et à l’aide du 3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E.

Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choixmultiples (Q.C.M.)

Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute ré- ponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le can- didat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent 12 point.

A B

C D

E

F G H

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de {(A, 1) ; (B, 3)}. Soit (π) le plan d’équation 4x−4y +3z−3 = 0.

année 2004

1. Les coordonnées de L sont :

a.

( 1

4 ; 0 ; 0

) b.

( 3

4 ; 0 ; 0

) c.

( 2

3 ; 0 ; 0

)

2. Le plan (π) est le plan

a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)

3. Le plan parallèle au plan (π) passant par I coupe la droite (FB) en M de coor- données

a.

( 1 ; 0 ;

1

4

) b.

( 1 ; 0 ;

1

5

) c.

( 1 ; 0 ;

1

3

)

4. a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique deM par rapport à B.

b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.

c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

5. Le volume du tétraèdre FIJM est :

a. 1

36 b.

1

48 c.

1

24

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= x

ex x .

On note (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal( O,

−→ ı ,

−→ ) , l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des

ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur R par g (x)= ex x−1.

1. Étudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g .

2. Justifier que pour tout x, (ex x) est strictement positif.

Partie B

1. a. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en −∞. b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

2. a. Calculer f ′(x), f ′ désignant la fonction dérivée de f .

b. Étudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.

b. À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C ).

EXERCICE 3 5 points Exercice de spécialité

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.

Nouvelle–Calédonie 56 novembre 2004

année 2004

1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b. En déduire que si (a2+abb2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux. 2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b)

tels que ( a2+abb2

)2 = 1. Un tel couple sera appelé solution. a. Déterminer a lorsque a = b. b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a < b , alors a2−b2 < 0. 3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y x ; x)

et (y ; y + x) sont aussi des solutions. b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.

4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an )n définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n,n > 0, an+2 = an+1+an . Démontrer que pour tout entier n> 0, (an ; an+1) est solution.

En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par :

{ u0 = 3 un+1 =

un + vn 2

{ v0 = 4 vn+1 =

un+1+ vn 2

1. Calculer u1, v1, u2 et v2.

2. Soit la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par : wn = vn un .

a. Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 1

4 .

b. Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (wn).

3. Après avoir étudié le sens de variation de suites (un ) et (vn), démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4. On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par

tn = un +2vn

3 .

a. Démontrer que la suite (tn) est constante.

b. En déduire la limite des suites (un ) et (vn).

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.

1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que

au+bv = 1

alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b. En déduire que si ( a2+abb2

)2 = 1 , alors a et b sont premiers entre eux. 2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b)

tels que ( a2+abb2

)2 = 1. Un tel couple sera appelé solution. a. Déterminer a lorsque a = b.

Nouvelle–Calédonie 57 novembre 2004

année 2004

b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a 6= b , alors a2−b2 < 0. 3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y x ; x)

et (y ; y + x) sont aussi des solutions. b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions

4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n∈N définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n, n> 0, an+2 = an+1+an . Démontrer que pour tout entier n> 0, (an ; an+1) est solution.

En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.

Nouvelle–Calédonie 58 novembre 2004

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004\

EXERCICE 1 7 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= xe−x .

On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O,

−→ ı ,

−→ ) (unité graphique : 10 cm).

Partie A

1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. Construire Γ dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

2. a. Montrer que, pour tout réelm de

] 0 ;

1

e

[ , l’équation f (x)=m admet deux

solutions.

b. Dans le cas oùm = 1

4 , on nomme α et β les solutions (avec α<β).

Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

c. Résoudre l’équation f (x)=m dans le cas oùm = 0 etm = 1

e .

Partie B

1. On considère la suite (un ) définie surN par

{ u0 = α un+1 = une−un , pour tout entier naturel n

α est le réel défini à la question A. 2. b.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 0. b. Montrer que la suite (un ) est décroissante.

c. La suite (un ) est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

2. On considère la suite (wn) définie surN par wn = lnun . a. Montrer que, pour tout n entier naturel, on a un =wn wn+1. b. On pose Sn =u0+u1+·· ·+un .

Montrer que Sn =w0−wn+1. c. En déduire lim

n→+∞ Sn .

3. On considère la suite (vn) définie sur N par son premier terme v0 (v0 > 0) et, pour tout entier naturel n, vn+1 = vne−vn . Existe-t-il une valeur de v0 différente de α telle que, pour tout n > 1, on ait un = vn ? Si oui, préciser laquelle.

EXERCICE 2 3 points

année 2004

0

1

2

0 1 2 3

A

B

O

On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , la courbe repré-

sentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l’équation différentielle

(E) : y ′+ y = 0 et telle que f (0)= e.

1. Déterminer f (x) pour tout x réel.

2. Soit t un réel donné de l’intervalle [1 ; e].

Résoudre dans R l’équation e1−x = t d’inconnue x. 3. Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe.

On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de l’arc de courbe •AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume.

On admet que V =π ∫e

1 (1− ln t)2 dt .

Calculer V à l’aide de deux intégrations par parties successives.

1

2

1-1-2

Amérique du Sud 60 novembre 2004

année 2004

EXERCICE 3 5 points

On note pA(B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évène- ment A est réalisé.

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.

On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune boule noire » ;

On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ;

On note A2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires ».

Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.

2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.

On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.

On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage no 2 »

On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire au tirage no 2 »

On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage no 2 »

a. Calculer pA0 (B0), pA1(B0) et pA2(B0).

b. En déduire p(B0).

c. Calculer p(B1) et p(B2).

d. On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?

3. On considère l’évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l’une ».

Montrer que p(R)= 1

3 .

EXERCICE 4 5 points

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm. Soit P le point d’affixe p p = 10 et Γ le cercle de diamètre [OP]. On désigne parΩ le centre de Γ. Soit A, B, C les points d’affixes respectives a, b et c, où a = 5+5i, b = 1+3i et c = 8−4i.

1. Montrer que A, B et C sont des points du cercle Γ.

2. Soit D le point d’affixe 2 + 2i.

Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).

Partie B

À tout point M du plan différent de O, d’affixe z, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = 20

z z désigne le nombre conjugué de z.

1. Montrer que les points O,M et M ′ sont alignés.

2. Soit ∆ la droite d’équation x = 2 etM un point de ∆ d’affixe z. On se propose de définir géométriquement le point M ′ associé au point M .

a. Vérifier que z+ z = 4.

b. Exprimer z ′+ z ′ en fonction de z et z et en déduire que 5 ( z ′+ z

) = z z ′.

Amérique du Sud 61 novembre 2004

année 2004

c. En déduire que M ′ appartient à l’intersection de la droite (OM) et du cercle Γ.

Placer M ′ sur la figure.

EXERCICE 4 5 points Exercice de spécialité

Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité.

Soit S la similitude de centre A0, de rapport 1

2 et d’angle

3π

4 .

On définit une suite de points (Bn) de la façon suivante :

pour tout entier naturel n, Bn+1 = S(Bn ).

1. Construire B1, B2, B3 et B4.

2. Montrer que, pour tout entier natureln, les triangles A0BnBn+1 et A0Bn+1Bn+2 sont semblables.

3. On définit la suite (ln) par : pour tout entier naturel n, ln =BnBn+1. a. Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique et préciser sa raison.

b. Exprimer ln en fonction de n et de l0.

c. On pose Σn = l0+ l1+·· ·+ ln . Déterminer la limite de Σn lorsque n tend vers +∞.

4. a. Résoudre l’équation 3x−4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs. b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0B0).

Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à ∆ ?

Amérique du Sud 62 novembre 2004

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