Exercitation – algèbre – 8 correction, Exercices de Algèbre linéaire
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Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 8 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la construction géométrique, la relation de récurrence.
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[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004 \

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité graphique : 2 cm.

On appelle A le point d’affixe −2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe

z ′ =−2z+2i.

1. On considère le point B d’affixe b = 3−2i.

Déterminer la forme algébrique des affixes a′ et b′ des points A′ etB ′ associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Montrer que si M appartient à la droite (∆) d’équation y = −2 alors M ′ ap- partient aussi à (∆).

3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , ∣

z ′+2i ∣

∣ = 2|z +2i| ; interprétez géométriquement cette égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle θ un argument de z+2i.

a. Justifier que θ est une mesure de l’angle (

−→ u ,

−−→ AM

)

.

b. Démontrer que (z+2i)(z ′+2i) est un réel négatif ou nul.

c. En déduire un argument de z ′+2i en fonction de θ.

d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM ′) ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M ′ associé au point M .

EXERCICE 2 5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Unemployé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 (. Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le len-

demain est 1

5 , s’il est en retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le

lendemain est 1

20 .

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On note pn , la probabilité de Rn et qn , celle de Rn . On suppose que p1 = 0.

1. Détermination d’une relation de récurrence.

a. Déterminer les probabilités conditionnelles pRn (Rn+1) et pRn (Rn+1).

b. Déterminer p (Rn+1∩Rn ) en fonction de pn et p (

Rn+1∩Rn

)

en fonction

de qn

c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn .

d. En déduire que pn+1 = 1

5 −

3

20 pn .

2. Étude de la suite (

pn )

.

Pour tout entier naturel non nul n, on pose vn = pn − 4

23 .

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 3

20 .

b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Justifier que la suite (

pn )

est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE 2 5 points

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant : « Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? » Pour tout entier naturel p> 2, on pose Np = 1. . . 1 où 1 apparaît p fois. On rappelle dès lors que Np = 10p−1+10p−2+·· ·+100.

1. Les nombres N2 = 11, N3 = 111, N4 = 1111 sont-ils premiers ?

2. Prouver que Np = 10p −1

9 . Peut-on être certain que 10p −1 est divisible par

9 ?

3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors Np n’est pas premier.

On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul,

xn −1= (x−1) (

xn−1+ xn−2+·· ·+ x+1 )

.

a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q , où q est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N2 = 11.

b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q , où q est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N3 = 111.

c. On suppose p non premier et on pose p = kq k et q sont des entiers naturels plus grands que 1.

En déduire que Np est divisible par Nk .

4. énoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier.

Cette condition est-elle suffisante ?

EXERCICE 3 9 points

Commun à tous les candidats

On s’intéresse à des courbes servant demodèle à la distribution de lamasse salariale d’une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes : (1) f (0)= 0 et f (1)= 1 ; (2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] (3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f (x)6 x.

Le plan est rapporté au repère orthonormalR = (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique : 10 cm.

I. Première partie étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que g (x)− x = x

e (ex −e) et en déduire que g vérifie la condition (3).

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

Centres étrangers 2 juin 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

II. Seconde partie Un calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice I f égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équa- tions y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que I f = ∫1

0

[

xf (x) ]

dx.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig , associé à g .

3. On s’intéresse aux fonctions fn , définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= 2xn

1+ x

n est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose In = ∫1

0

[

xfn (x) ]

dx et un = ∫1

0 fn(x)dx. Prouver que

In = 1

2 −un .

b. Comparer tn+1

1+ t et

tn

1+ t sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un )

est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

06 tn+1

1+ t 6 tn .

d. En déduire que pour tout entier naturel n> 2, 06 un 6 2

n+1 .

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

Centres étrangers 3 juin 2004

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