Exercitation d'algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Exercitation d'algèbre 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de E dans E, l'espace probabilisé décrivant la situation.
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, orienté par le choix d’un repère

orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

et E l’espace vectoriel associé.

Soit F l’applicationdeEdansEqui à tout pointM(x ; y ; z) associe le pointM ′ (

x′ ; y ′ ; z ′ )

tel que :

x′ = −y +1 y ′ = z−1 z ′ = −x+1

Montrer que F est un vissage dont on déterminera l’axe, le vecteur et l’angle par un couple de vecteurs le représentant.

EXERCICE 2 3 POINTS

Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules noires et 3 boules rouges.

1. On extrait simultanément 3 boules. On admet l’équiprobabilité des tirages de chaque ensemble de 3 boules.

a. Donner un espace probabilisé décrivant la situation.

b. Calculer la probabilité des événements suivants : A : on obtient 2 boules blanches aumoins

B : on obtient 1 boule rouge au plus.

2. On extrait successivement 3 boules. On admet l’équiprobabilité des tirages de chaque triplet de boules. On examinera les deux types de tirages possibles (sans remise ; avec remise).

a. Donner un espace probabilisé décrivant la situation.

b. Calculer la probabilité de l’événement C suivant : C : on obtient une boule blanche au 1er tirage, une boule rouge au 2e

tirage et une boule blanche au 3e tirage.

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

1. a. Étudier les variations de la fonction numérique ϕ définie par :

x ∈ [

0 ; π

2

[

, ϕ(x)= tgxx.

b. En déduire les variations de la fonction numérique f définie par :

x ∈ [

0 ; π

2

[

, f (x)= tgxxx3

3 .

2. a. Étudier les variations de la fonction numérique ψ définie par :

x ∈ [

0 ; π

2

[

, ψ(x)= tgxx p 2.

On désignera par α le réel unique de ]

0 ; π

2

[

tel que :

tgα= √p

2−1.

1. Aix-Marseille - La Réunion

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. En déduire qu’il existe un réel unique β de l’intervalle ]

α ; π

2

[

tel que :

ψ(β)= 0. 3. a. Étudier alors les variations de la fonction numérique g définie par :

x ∈ [

0 ; π

2

[

, g (x)= tgxx− 2x3

3 .

b. En déduire qu’il existe un réel unique γ de l’intervalle ]

β ; π

2

[

tel que :

g (γ)= 0.

4. Montrer que π

3 ∈]0 ; γ[. (On donne 0,76<

2π3

81 < 0,77).

En déduire que :

x ∈ [

0 ; π

3

[

, x+ x3

3 6 tgx 6 x+

2x3

3 .

5. Soit h la fonction numérique définie par :

{ ∀x ∈R−, h(x) = 1

x ∈ [

0 ; π

2

[

, h(x) = tg x

x

a. h est-elle continue en 0 ?

b. Déduire de la question 1.4. un encadrement de h(t) pour t appartenant à [0, 1]. h est-elle dérivable en 0 ?

Partie B

1. Soit I = ∫1

0 tgt dt .

Justifier l’existence de I et calculer I .

Déduire du A 4. un encadrement de I .

2. Soit H = ∫1

0 h(t)dt .

Justifier l’existence de H .

Donner un encadrement de H .

3. Soit Φ etΨ les fonctions numériques définies par :

x ∈ [0 ; 1], Φ(x) = ∫1

x h(t)dt et

x ∈]0 ; 1], Ψ(x) = ∫1

x

cos2 tLog(cos t)− t2Logt t2 cos2 t

dt .

Justifier l’existence des réels Φ(x) etΨ(x).

En intégrant par parties de deux manières différentes ∫1

x h(t) dt , en déduire

une expression deΨ(x).

4. Soit σ la fonction numérique définie par :

x ∈ [

0 ; π

2

]

, σ(x)= cosx−1+ x2

2 −

x4

24

Définir les fonctions dérivées successives σ′, σ′′, σ′′′, σ′′′′.

Dresser le tableau de variation de σ′′′, σ′′, σ′, σ.

En déduire que :

x ∈]0 ; 1], 1− x2

2 < cosx < 1−

x2

2 +

x4

24 .

Aix-Marseille - La Réunion 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Calculer les limites lorsque x tend vers 0 par valeurs positives des fonctions

x 7−→ Log (cosx)

x et Ψ.

Aix-Marseille - La Réunion 3 septembre 1979

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