Exercitation d'algèbre 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les valeurs de l’entier naturel n, l’ensemble des entiers naturels n.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Trouver, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne de 3n par 8.

2. Quel est l’ensemble des entiers naturels n tels que le nombre 3n ·n−9n+2 soit divisible par 8 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans un plan affine euclidien P, on donne un triangle ABC rectangle en A, tel que d(A, C) = 2d(A, B) = 2a a est un nombre réel positif donné et d(A, C) désigne la distance des points A et C.

1. Déterminer et construire le point C barycentre du système de points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, −2 et 1.

Déterminer et construire le point K barycentre du système de points A, B et C affectés respectivement des coefficients −2, 3 et 3.

2. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M tels que

4 · ∥

∥2 −−→ MA −2

−−→ MB +

−−→ MC

∥=

∥−2 −−→ MA +3

−−→ MB +3

−−→ MC

Déterminer et construire l’ensemble E2 des points M tels que

2MA2−2MB2+MC2 =−5a2

PROBLÈME 13 POINTS

Soit m un réel quelconque. On précise que pour tout x strictement positif, la nota- tion xm désigne em logx où logx représente le logarithme népérien de x. R ⋆

+ désigne l’ensemble des nombres réels strictement positifs et R ⋆ l’ensemble des

nombres réels différents de zéro. Les parties B et C suivantes sont indépendantes.

Partie A

1. À tout réelm, on associe la fonction fm de R⋆+ vers R ⋆

+ définie par

fm (x)= x m .

Étudier, suivant les différentes valeurs de m, les variations de cette fonction. On appelle Cm la courbe représentative de fm dans un plan affine euclidien

P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. Déterminer l’équation de la

tangente à Cm au point d’abscisse 1.

2. Construire sur une même figure C−1, C0, C 1 2 , C1 et C2.

3. Montrer que pourm 6= 0 la fonction fm possède une fonction réciproque égale à f 1

m . Montrer qu’il existe une application affine du plan qui transforme la

courbe Cm en C 1 m .

Partie B

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

À tout réelm on associe la fonction gm de R⋆ vers R⋆+ définie par :

gm(x)= e m| log |x||.

1. Montrer que gm est paire,

2. Déterminer un intervalle I deR. tel que les restrictions de gm et de fm à I soient égales.

3. Étudier, suivant les différentes valeurs dem, les variations de la fonction gm .

4. gm est-elle continue en x = 1 ? Est-elle dérivable en ce point ?

5. Donner, sur des figures différentes, dans des plans rapportés à des repères or- thonormés, les allures des courbes représentatives des fonctions g−1 ,g− 12

,g0,g 1 2 ,g1

et g2.

6. Comparer, pour tout x réel non nul, gm

(

1

x

)

et gm(x).

Partie B

Onoriente le plan affine euclidienP en considérant que le repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

est direct. Soit V le plan vectoriel euclidien orienté associé. Soit m un nombre réel

nonnul etψm l’endomorphisme deV défini par samatrice Am dans la base (

−→ ı ,

−→ )

:

Am =

1−m2

1+m2 2m

1+m2 2m

1+m2 m2−1

1+m2

Soit Fm l’application affine de P associée àΨm et qui laisse le point J de coordonnées (1 ; 1) invariant.

1. Montrer queΨm est involutive.

2. Quelle est la nature de l’applicationFm ? Préciser ses éléments caractéristiques,

3. Soit Γm l’image de Cm par l’application Fm (Cm est la courbe définie, en A 1.).

Montrer qu’il existe une rotation Rm telle que Γm soit l’image de C 1 m

par la

rotation (on pourra utiliser le résultat de A 3.).

Quel est le centre de cette rotation ?

4. Soit θm l’angle de la rotation Rm . Déterminer tg θm en fonction dem.

Caen 2 juin 1979

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