Exercitation d'algèbre 13, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Exercitation d'algèbre 13, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

PDF (30.4 KB)
2 pages
287Numéro de visites
Description
Série de mathématique - exercitation d'algèbre 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Règles et cercles à calculs, la fonction numérique de la variable réelle x.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ClermontFerrandCseptebre1979*.dvi

[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand 1 \ septembre 1979

Matériel autorisé :

- Toutes tables numériques et en particulier les tables de logarithmes (sans formu-

laires)

- Règles et cercles à calculs

- Feuille(s) de papier millimétré à distribuer aux candidats.

Matériel interdit :

- Calculateurs électroniques de poche

EXERCICE 1 5 POINTS

On considère l’équation

z3+ (i−2)z2+3(1− i)z +2i−2= 0

où l’inconnue z est un nombre complexe.

1. Démontrer que cette équation admet une solution réelle z1 que l’on calculera.

2. Déterminer les deux autres solutions z2 et z3 de cette équation.

3. Déterminer un nombre complexe a tel que les trois nombres zl1−a, z2−a et z3−a aient mêmemodule.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l’intervalle [−2 ; 0]

par

f (x)= xe−2x .

1. Ondésigne par F la primitive de f sur [−2 ; 0] qui s’annule en 0. Justifier l’exis- tence de F et déterminer F . (On pourra se servir de la formule d’intégration

par parties.)

2. Démontrer que F est une bijection de [−2 ; 0] sur un intervalle I de R que l’on déterminera.

3. On désigne par G l’application réciproque de F . Montrer que G est définie sur I et admet une dérivée G ′ sur I −{0}.

PROBLÈME 11 POINTS

On désignera par E l’ensemble R×R des couples de nombres réels et par F l’en-

semble Z×Z des couples d’entiers relatifs.

On considère l’application f de E dans E qui au couple (x ; y) fait correspondre le

couple (X ; Y ) défini par

{

X = 3x +4y

Y = 2x +3y

Partie A

1. Montrer que l’application f est bijective et déterminer son application réci- proque.

1. Grenoble

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Montrer que l’image de F par f est égale à F .

3. Soit H l’ensemble des couples (x ; y) de E pour lesquels x2−2y2 =−1.Montrer que l’image de H par f est égale à H .

4. Soit S l’ensemble des couples (x ; y) de F pour lesquels x2−2y2 =−1. Montrer que l’image de S par f est égale à S.

5. On pose s0 = (1 ; 1) et, par récurrence, sn+1 = f (sn), pour tout entier naturel n. Montrer que sn appartient à S, pour tout entier naturel n.

6. On désigne par xn et yn les entiers définis par sn = (xn ; yn ). Calculer x1, x2, x3 et y1, y2, y3.

7. Montrer que la suite (xn) est strictement croissante.

Partie B

On considère la fonction numérique, h définie pour tout nombre réel t , par

h(t)= 3t +4

t2+1

2 .

1. Montrer que la fonction h est continue et strictement croissante sur R.

2. Montrer que h(−1)= x0 et h (xn)= xn+1 pour tout entier naturel n ; [les xn ont été définis au A 6.].

3. Montrer qu’il n’y a aucun couple (x ; y) de S pour lequel −1< x < 1.

4. En déduire qu’il n’y a aucun couple (x ; y) de S pour lequel x0 < x < x1.

Plus généralement, montrer qu’il n’y a aucun couple (x ; y) de S pour lequel

xn < x < xn+1.

5. Déduire des questions A 7. et B 4. que S est l’ensemble de tous les couples

(

xn ; yn )

, (

xn ; −yn )

, (

xn ; yn )

, (

xn ; −yn )

pour n entier naturel.

Clermont-Ferrand 2 septembre 1979

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome