Exercitation d'algèbre 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps C des nombres complexes, le logarithme népérien de x.
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[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1979 \

EXERCICE 1

Résoudre dans le corps C des nombres complexes l’équation (E) :

(

2z+1

z−1

)4

= 1.

Placer, dans le plan complexe, les points images des solutions de (E) et démontrer que ces points sont situés sur un même cercle que l’on déterminera.

EXERCICE 2

Soit f la fonction de R dans R définie par

f (x) = Logx−2

Logx−1 six ∈]0 ; e[∪ ]e ; +∞[

f (0) = 1.

Log x désignant le logarithme népérien de x.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition D.

2. Étudier les variations de f . Tracer sa courbe représentative (C) dans un plan

affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. (Unité conseillée :

2 cm),

3. Montrer que la restriction f1 de f à [0 ; e[ est unebijection de [0 ; e[ sur [l ; +∞[.

Préciser les propriétés de la fonction réciproque h de f1 (ensemble de défi- nition, continuité, sens de variations), et tracer sa courbe représentative (C′)

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Montrer que h est dérivable au point 2 et calculer le

nombre dérivé de h en ce point.

PROBLÈME

Selon l’habitude, pour tout endomorphisme ψ d’un espace vectoriel V, on pose

ψ 0 = IdV et ψ

n+1 =ψψ

n

pour tout entier naturel n ; de même, si M est une matrice 2×2, on pose

M0 =

(

1 0 0 1

)

et Mn+1 =M ×Mn

On désigne par V un plan vectoriel rapporté à une base (

−→ ı ,

−→ ı )

.

Partie A

On considère l’endomorphisme ϕ de V dont la matrice sur la base (

−→ ı ,

−→ ı )

est

A=

(

3 −4 3 −1

)

.

1. Trouver un nombre réel a tel qu’il existe au moins un vecteur non nul −→ u de V

tel que ϕ (

−→ u )

= a −→ u .

Déterminer l’ensemble E des vecteurs −→ v de V tels que ϕ

(

−→ v )

= −→ v .

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. a. Démontrer que les vecteurs −→ e1 = 2

−→ ı +

−→ et

−→ e2 =

−→ forment une base de

V,

b. Démontrer que, sur cette base, ϕ a pour matrice

B=

(

1 −2 0 1

)

.

c. Calculer B2, puis Bn pour tout entier naturel n.

3. Soit ρ l’endomorphisme de V tel que

ρ

(

−→ ı )

= −→ e1 et ρ

(

−→

)

= −→ e2

et déterminer la matrice P de ρ sur la base (

−→ ı ,

−→ ı )

et calculer l’inverse ρ−1 de ρ.

Vérifier que A = PBP−1, et en déduire que An= PBnP−1 pour tout entier naturel n. Expliciter An en fonction de n.

4. Étant donné deux nombres réels u0 et v0, on définit deux suites (un )n∈N et (vn)n∈N par les relations de récurrence

{

un = 3un−1−4vn−1, vn = un vn−1,

et l’on pose wn =un −→ ı + vn

−→ , pour tout n.

a. Exprimer wn à l’aide de ϕ et dew0, et en déduire une expression de un à l’aide de u0, v0 et n.

b. Pour (u0, v0)= (2, 2) déterminer la plus petite valeur de n telle que |un | et |vn | soient tous deux strictement supérieurs à 106.

Partie B

On désigne par D l’ensemble des fonctions numériques définies et dérivables sur R ; on rappelle que la multiplication par un nombre réel et l’addition usuelles font de D un espace vectoriel. Étant donné un nombre réel k, on note Ek l’ensemble des fonctions f de D qui vérifient

f ′(x)= f (x)−2kex

pour tout nombre réel x.

1. À tout élément f de D, on associe la fonction g définie par g (x) = f (x)e−x

pour tout réel x.

a. Montrer que g appartient à D.

b. Démontrer que f appartient à Ek si, et seulement si, g ′(x) = −2k pour

tout x de R.

c. En déduire la forme générale des fonctions f de Ek et préciser en parti- culier l’ensemble E0 obtenu pour k = 0.

2. Trouver l’ensemble des couples (F, G) d’éléments de D qui satisfont les rela- tions

F ′(x)= 3F (x)−4G(x) et G(x)= F (x)−G(x).

pour tout x de R.

(On pourra déterminer d’abord deux fonctions auxiliaires F1 etG1 liées à F et G par les relations F = 2F1 etG = F1+G1).

Amérique du Sud 2 novembre 1979

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