Exercitation d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

Exercitation d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans C l’équation, la fonction f de R dans R.
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[ Baccalauréat C Amiens juin 1983 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans C l’équation

z2− (3+4i)z+ (−1+5i)= 0.

On désigne par z ′ et z ′′ les racines de cette équation.

2. Soit P un plan affine orienté rapporté à un repère orthonormé direct. Au point de coordonnées (x ; y) on associe son affixe z = x+ iy .

Soit A le point d’affixe z ′ et B celui d’affixe z ′′. Déterminer les points C tels que le triangle ABC soit équilatéral.

EXERCICE 2 5 POINTS

On considère la fonction f de R dans R définie par :

{

f (x) = −xe−x si x 6 0 f (x) = x logx si x > 0.

1. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers zéro par valeurs positives.

Étudier la continuité de f .

Étudier les variations de f et tracer sa courbe (C ) dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On précisera les demi-tangentes en O.

2. Montrer que la restriction ϕ de f à I = [

−1 ; e−1 ]

permet de définir une bijec- tion de I sur ϕ(I ).

Tracer la courbe représentative (Γ) de ϕ−1 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Déterminer l’ensemble de dérivabilité deϕ−1 et calculer la valeur de la dérivée

de ϕ−1 en 1

2 e−

1 2 .

PROBLÈME 12 POINTS

Ondésigne par P un plan vectoriel euclidien dont une base orthonormée est (−→ ı ,

−→

)

et par P un plan affine associé à P ; soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère de P .

On considère une application affine f qui à tout pointM(x ; y) deP associe le point M1

(

x1 ; y1 )

de P et on désigne par F l’endomorphisme associé à f :

soit

(

a c

b d

)

la matrice de F dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

Pour tout point M de P on note M1= f (M);M2 = f (M1) ;M3 = f (M2) ;M4 = f (M3) et G l’isobarycentre des points M , M1, M2 et M3.

Partie A

1. Démontrer que F 2 =−IP si et seulement si

a+d = 0 et a2+bc =−1.

(IP désigne l’application identique de P, et F 2 = F F .)

2. Dans cette partie, a = 2, b = 1 et F 2 =−IP.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

a. Écrire la matrice de F dans la base (−→ ı ,

−→

)

. En déduire que l’application

affine f admettant F comme endomorphisme associé et telle que f (O)= O′,O′ étant le point de coordonnées (2 ; 0), est définie par :

{

x1 = 2x−5y +2 y1 = x−2y.

Démontrer que f est bijective.

b. On désigne par D ′ = f (D) l’image par f d’une droite quelconque D du plan P. Démontrer que D et D ′ ne sont pas parallèles.

En déduire que, quel que soit le point M de P , les points M , M1, M2, lorsqu’ils sont distincts, ne sont pas alignés.

c. Préciser la nature des applications :

{

f 2 = f f , f 4 = f 2 ◦ f 2.

d. SoitM(x ; y) un point quelconque de P. En utilisant le A 2. c., déterminer les coordonnées du pointG isobarycentre deM , M1, M2 et M3.

En déduire que le point G est indépendant du choix de M et queG est le seul point invariant par f .

e. Faire une figure en indiquant les situations respectives des pointsM ,M1 , M2 et M3 lorsque M est le point de coordonnées (2 ; 1).

Partie B

Soit E l’ensemble des applications affines f de P dans P telles que f 4 = IP . (IP est l’application identique de P .) Soit F l’endomorphisme associé à f .

1. Quelle propriété doit vérifier l’endomorphisme F2 ? Quelle peut-être par suite sa nature ?

Démontrer que F2 ne peut pas être une symétrie vectorielle par rapport à une

droite vectorielle D (de base −→ u ) de direction une droite vectorielle D′ (de base

−→ v ) (D′ étant distincte de D).

(On pourra utiliser le déterminant de la matrice F2 dans la base (−→ u ,

−→ v

)

).

En déduire les possibilités pour F2.

2. Démontrer que le pointG défini dans la question A 2. d. est invariant par toute application f de E.

Partie C

On considère l’application f de P dans P laissant invariant le point O et telle que

l’endomorphisme associé F ait pour matrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

:

(

1 1 −2 −1

)

1. Vérifier que f est un élément de E . Exprimer x1 et y1 en fonction de x et y .

2. Soit les courbes Cαβ d’équation αx 2 +βxy + y2 = 1 (α et β étant deux réels

donnés).

a. Déterminer l’équation des courbes C′ αβ

, images par f des courbes Cαβ.

Amiens 2 juin 1983

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

b. Déterminer α et β pour que la courbe Cαβ soit globalement invariante par f .

Démontrer que la courbe ainsi obtenue est la réunion de deux courbes γ1 et γ2 d’équations respectives :

y = g1(x)=−x+ p 1− x2 pourγ1

y = g2(x)=−x− p 1− x2 pourγ2

Étudier la fonction g1. Construire γ1.

En déduire γ2 par une transformation simple que l’on précisera.

M étant un point quelconque de γ = γ1 ∪γ2, indiquer sur la figure les points M , f (M), f 2(M), f 3(M).

3. De façon générale, on recherche les courbes Cαβ telles que leurs images par f aient pour équation :

k (

αx2+βxy +γ2 )

= 1.

Démontrer que deux valeurs seulement sont possibles pour k. En déduire qu’on obtient d’une part la courbe obtenue au 2. et d’autre part un ensemble de courbes dont on donnera l’équation en fonction d’un seul paramètre (α par exemple).

N.B.- Les parties B et C sont indépendantes.

Amiens 3 juin 1983

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