Exercitation d'algèbre 5, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’algorithme d’Euclide, la continuité et la dérivabilité de en −1.
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[ Baccalauréat Amiens septembre 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Démontrer qu’il existe au moins deux entiers relatifs k et tels que :

13k−23= 1

Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, deux de ces entiers.

2. Résoudre dans Z2 l’équation :

−156x+256y = 24.

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère la fonction f de R dans R définie par :

f (x)= (x+1)Log |x+1| si x 6= −1 et f (−1)= 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de en −1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C) relativement

à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. Montrer que (C) admet un centre de sy-

métrie I.

2. Déterminer, lorsqu’elle existe, la dérivée de la fonction F deRdansR telle que :

F (x)= (x+1)2Log |x+1|.

α étant un réel tel que 0<α< 1, calculer l’aire Aα de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x =−1+α et y = 0. Montrer que cette aire admet une limite lorsqueα tend vers 0 et interpréter ce résultat.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté dont une base orthonormée directe est

B = (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

et un espace affine associé à E et rapporté au repère

R = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Partie A

Soit ϕ l’endomorphisme de E tel que :

ϕ (−→ ı )

=− 1

2 ( −→ ı −−→)

ϕ (−→ )

= 1

2 ( −→ ı −−→)

ϕ (−→ k )

= −→ k

1. Dans B, un vecteur −→ V a pour coordonnées (x ; y ; z) et son image ϕ

(−→ V

)

a

pour coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

. Calculer x′, y ′ et z ′ en fonction de x, y et z.

2. Montrer que le noyau de ϕ est la droite vectorielle ∆ de base −→ ı +−→et que

l’image de ϕ est le plan vectoriel P orthogonal à ∆.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. a. Montrer que l’ensemble des vecteurs −→ V de E tels que V et ϕ

(−→ V

)

soient

linéairement dépendants est la réunion de trois droites vectorielles deux à deux orthogonales et dont l’une est ∆.

b. Quelle est la restriction, ϕ1 de ϕ à P ?

4. Soit B′ = (−→ ı ′ ,

−→ ′ ,

−→ k )

la base orthonormée directe-telle que

−→ ı ′ =

p 2

2

(−→ ı

−→ )

.

a. Déterminer −→ ′ , ϕ

(−→ ı ′ )

et ϕ (−→ ′ )

.

b. Dans B′, un vecteur −→ V a pour coordonnées (X ; Y ; Z ) et ϕ

(−→ V

)

a pour

coordonnées (X ′ ; Y ′ ; Z ′). Calculer X ′, Y ′ et Z ′ en fonction de X , Y et Z .

c. Montrer que ϕ s’écrit ϕ = ψ σ = σ ψ σ est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport au plan vectoriel P′ orthogonal à

−→ ı ′ , et ψ une

projection vectorielle orthogonale à déterminer.

Partie B

On considère l’application f de (E ) dans (E ) qui à tout point M de coordonnées (x ; y ; z) dans (R) fait correspondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

dans (R) défini par :

x = − 1

2 x+

1

2 y +1

y = 1

2 x

1

2 y +1

z ′ = z.

1. Montrer que f est une application affine de (E ) dont l’endomorphisme asso- cié est ϕ.

2. Quel est l’ensemble des points de (E ) invariants par f ?

3. a. Montrer que le plan (P ) passant par A(1 ; 1 ; 1) et de direction P est glo- balement invariant par f .

b. Quelle est la restriction, f1, de f au plan (P ) ?

c. Montrer que f s’écrit f = sp s et p sont respectivement une symétrie orthogonale et une projection orthogonale à préciser.

d. Soit le repèreR′ = (

A, −→ ı ′ ,

−→ ′ ,

−→ k

)

. Calculer les coordonnées (

X ′ ; Y ′ ; Z ′ )

de M ′ = f (M) dans R′ en fonction des coordonnées (X ; Y ; Z ) de M dans R′.

4. Soit (S ) la sphère de centre A et rayon R et (C ) le cercle intersection de cette sphère avec le plan Q passant par A et dont la direction est orthogonale à i.

a. Quelle est, l’image de (S ) par f ?

b. Donner une représentationparamétriquede (C ) dans le repère (

A, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

puis dans le repèreR′ = (

A, −→ ı ′ ,

−→ ′ ,

−→ k

)

.

c. Quelle est l’image de (C ) par f ? Vérifier que cette image est bien incluse dans l’image de (S ).

Faire une figure dans le plan (P ).

Amiens 2 septembre 1979

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