Exercitation d'algèbre 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble C, l’ensemble des vecteurs de E.
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[ Baccalauréat C Besançon juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. On considère, dans l’ensemble C, des nombres complexes, l’équation

z3− i= 0.

Donner chaque racine sous sa forme trigonométrique. Trouver la somme et le produit des deux racines qui ne sont pas imaginaires pures.

2. Résoudre, dans C, l’équation z3− i= 6(z+ i).

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère une fonction numérique f définie et continue sur [0 ; +∞[ et la fonc-

tionG définie sur [0 ; +∞[ parG(x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. Justifier rapidement queG est dérivable sur [0 ; +∞[. À quoi est égalG ′(0) ?

2. a. On considère la fonction F définie sur [0 ; +∞[ par

F (x) = 1

x

x

0 f (t)dt =

1

x G(x) six > 0

F (0) = f (0).

Démontrer que F est continue sur [0 ; +∞[. (Pour démontrer la conti- nuité de F au point 0, on pourra utiliser le fait que G est dérivable en 0.)

b. Démontrer que, sur [0 ; +∞[,F est dérivable et exprimer F ′(x) pour x > 0.

3. Déterminer F dans les cas suivants :

f (t)= t sin t ; f (t)= 2t +et

t2+et .

PROBLÈME 12 POINTS

SoitE l’espace vectoriel euclidien réel rapporté à la base orthonormédirect (

−→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

Soit (H) l’ensemble des vecteurs de E dont les coordonnées vérifient :

x2+ y2− z2 = 1 où −→ V = x

−→ ı + y

−→ + z

−→

k .

Partie A

1. Soit r la rotation vectorielle de E d’axe −→

k et dont la restriction au plan vectoriel

de base (

−→ ı ,

−→ )

a pour matrice dans cette base

(

a b

b a

)

avec a2+b2 = 1.

Exprimer x′, y ′,z ′ de r (

−→ v )

en fonction des coordonnées (x ; y ; z) de −→ v ap-

partenant à E .

2. Soit s l’endomorphisme de E défini analytiquement dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→

k )

par

x′ = ax+by

y ′ = bxay aveca2+b2 = 1 z ′ = z.

Vérifier que s est une symétrie orthogonale par rapport à un plan contenant −→

k .

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

Partie B

1. a. Soit J l’ensemble des isométries vectorielles f conservant globalement

(H).Montrer que l’image f (

−→ V

)

de coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

d’un vecteur −→

V de coordonnées (x ; y ; z) de (H) est telle que z ′ = z ou z?=−z.

b. Soit P le plan d’équation engendré par −→

ı et −→

. Montrer que si f appar- tient à J , f transforme un vecteur de P en un vecteur de P. En déduire

que f (

−→

k )

vaut −→

k ou − −→

k .

2. J1 étant le sous-ensemble de J des isométries telles que z ′ = z, quelle est la nature des éléments deJ1 ? (On pourra classer ces isométries suivant le sous- espace de leurs invariants).

3. Soit J2 le complémentaire de J1 dans J .

a. Onappelleδ la symétrie orthogonale par rapport au plan (

−→ ı ,

−→ )

. g étant

une application quelconque de J2, donner les natures à priori possibles

δg . (On regardera à quoi est égal δg (

−→

k )

.

b. En déduire la nature des éléments de J2.

4. a. Montrer que (J , ◦) a une structure de groupe, ◦ étant la loi de composi- tion des applications.

Ce groupe est-il commutatif ?

b. En est-il de même pour (J2, ◦) ?

Partie C

1. On considère l’application linéaireψ de E dans E définie par

ψ (

−→ ı )

= 2 −→ ı +

−→ +2

−→

k

ψ (

−→ )

= −→ ı +2

−→ +2

−→

k

ψ (

−→

k )

= 2 −→ ı +2

−→ +3

−→

k

Vérifier que l’image de (H) parψ est incluse dans (H).

2. Soit −→ V de (H) à coordonnées entières. Que peut-on dire des coordonnées de

ψ (

−→ V

)

?

3. Montrer qu’il existe une infinité de points de (H) dont les coordonnées sont des entiers naturels strictement supérieur à 1.

Besançon 2 juin 1983

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