Exercitation d'algèbre 7, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelles sont les coordonnées de leur barycentre G? Calculer les six intégrales.
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BesanconCseptembre1979*.dvi

[ Baccalauréat Besançon septembre 1979 \

EXERCICE 1

Soient u, v et α trois nombres réels. On suppose que 0 < α < 1. Dans le plan affine

euclidien rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on affecte les quatre points

A1 = (1 ; 0) ; A2 = (0 ; 1) ; A3 = (−1 ; 0) ; A4 = (0 ; −1)

respectivement des coefficients

m1 =αcos 2 u

2 , m2 = (1−α)cos

2 v

2 , m3 =αsin

2 u

2 , m4 = (1−α)sin

2 v

2 .

1. Quelles sont les coordonnées de leur barycentre G ?

2. α étant fixé, on suppose que u et v varient de façon que u+ v = π

2 ; Indiquer

la nature géométrique de l’ensemble parcouru par le point G, et représenter

graphiquement cet ensemble pour α= 1/2 et α= 1/4.

EXERCICE 2

On admettra que le nombre 1979 est premier.

Les éléments de Z/1979Z seront notés 0, 1, 2, · · · , 1978.

1. Résoudre dans Z/1979Z l’équation 2x = 1.

2. On considère l’équation

(1)x2− x+494 = 0.

Si x est solution de (1), calculer (

x−990 )2 .

En déduire les solutions de (1).

PROBLÈME

Dans l’espace vectoriel des fonctions définies sur R, à valeurs réelles, on considère

le sous-espace vectoriel E engendré par les fonctions u1, u2, u3 définies, pour tout

x ∈R, par les formules :

u1(x) = 1 p 2 e−x ;

u2(x) = e−x cosx; u3(x) = e−x sinx.

Si f et g appartiennent à E, on pose :

< f , g >= 1

π

∫2π

0 f (t)g (t)e2t dt .

Partie A

1. Calculer les six intégrales <u1, u2 > ; <u1, u3 > ; <u2, u3 > ; <u1, u1 >

<u2, u2 > ; <u3, u3 >.

2. Montrer que l’application qui, à tout couple ( f , g ) d’éléments de E, associe le nombre< f , g >, est un produit scalaire sur E, et que (u1, u2, u3) est une base orthonormée de l’espace euclidien E ainsi défini.

Dans la suite du problème, cette base sera considérée comme directe, ce qui

oriente l’espace E.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Partie B

SoitD l’application qui, à tout f appartenant à E, associe la fonctionD f = f ′ dérivée de f .

1. Montrer que D applique E dans E.

2. Est-ce que D est une isométrie de E ?

Partie C

1. Soit h un nombre réel donné. Soit f = au1+bu2+cu3 un élément quelconque de E, où a, b, c sont des nombres réels.

Montrer que la fonction x 7−→ g (x)= f (xh) peut s’écrire

g = au1+bu2+c u3, où a′, b′, c ′ sont trois nombres réels qu’on calculera en fonction de a, b, c et de h.

2. On a ainsi défini une application linéaire Th de E dans E, celle qui transforme f en g .

Montrer que Th est la composée d’une homothétie vectorielle, dont on préci-

sera le rapport, et d’une rotation de E, dont on précisera les éléments.

Partie D

1. Calculer les trois intégrales

vi (x)= ∫x+π

xπ ui (t)dt

i = 1, 2, 3.

(Nota Bene : pour calculer v2 et v3 on pourra intégrer deux fois par parties).

2. En déduire que, pour tout f appartenant à E, la fonction

x 7−→ F (x)= ∫x+π

xπ f (t)dt

appartient à E.

On note L l’application linéaire de E dans E qui transforme f en F.

3. Soit P le plan vectoriel engendré dans E par u2 et u3. Quelle est l’image de P par L ?

4. Montrer que l’application L est bijective de E sur E.

Besançon - Nancy - Metz - Reims - Strasbourg2 septembre 1979

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