Exercitation d'algèbre 9, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers relatifs, l’endomorphisme associé.
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[ Baccalauréat C Bordeaux septembre 1979 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Étant donné un entier relatif n on considère les entiers relatifs :

A = 3n+4 et B = 9n−5.

1. Déterminer, suivant les valeurs de n, le plus grand commun diviseur de A et B .

2. Déterminer les valeurs de n pour que le plus grand commun diviseur de A et B soit égal à 17 et le plus petit commun multiple de A et B soit égal à 884.

EXERCICE 2 3 POINTS

On considère un plan affine E rapporté à un repère affine (

O, −→ ı ,

−→ )

. Soient A le

point de coordonnées (1 ; 2) et A′ le point de coordonnées (3, ; 4). On désigne par f l’application affine de E dans E qui transforme A en A′ et dont l’endomorphisme associé ϕ vérifie les deux propriétés :

a. ϕ est involutif

b. ϕ (−→ ı )

= −→ ı +2

−→ .

1. f est-elle bijective ?

2. Déterminer ϕ (−→ )

.

3. Trouver les coordonnées (

x1 ; y1 )

du point M1 transformé d’un point M de coordonnées (x ; y) par l’application f .

4. f est-elle involutive ? f possède-t-elle des points invariants ?

PROBLÈME 12 POINTS

On désigne par F l’ensemble des fonctions numériques, définies sur R, de la va- riable réelle x. On rappelle que cet ensemble, muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un nombre réel, est un espace vectoriel sur R. On notera par θ l’élément neutre pour l’addition (pour tout x ∈R, θ(x)= 0). On désigne par J l’ensemble des éléments deF qui sont intégrables sur tout inter- valle fermé borné [−a ; a] (a > 0). On rappelle que, pour tout f ∈J ,a > 0, il existe Ma, f > 0 tel que, pour tout x ∈ [−a ; a], | f (x)|6Ma, f .

Partie A

1. Dire pourquoi les fonctions suivantes sont éléments de l’ensemble J

f1 : x 7−→ E(x)

où E (x) est l’unique élément de Z tel que E(x)6 x < E(x)+1

f2 : x 7−→ sinx

f3 : x 7−→ cosx

f4 : x 7−→ √

|x|

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

2. Montrer que, pour toute f ∈J et tout x ∈R, la relation : 

F (x) = ∫ x

x f (t)dt et

F (0) = 0

détermine un élément F de F et une application linéaire Φ de J dans F : f 7−→Φ( f )= F . Déterminer l’image parΦ de :

a. la fonction nulle θ

b. la fonction constante k : x 7−→ k (k ∈R)

c. la fonction idR : x 7−→ x d. la fonction f2

e. la fonction f3

3. a. Montrer que, pour tout x > 0 : ∫

x x f1(t)dt = 0

(On pourra utiliser des considérations graphiques en faisant intervenir le point ω de R2 de coordonnées (1/2 ; 0).

b. Montrer que, pour tout x ∈R : ∫

x x+1 f1(t)dt = x

c. Déterminer l’image par Φ de la fonction f1.

Partie B

1. Montrer que, pour toute f ∈ J , la fonction F = Φ( f ) est une fonction conti- nue, impaire.

Prouver que l’application Φ applique J dans J .

2. Montrer que si f ∈J est impaire alorsΦ( f )= θ. (On pourra utiliser des consi- dérations graphiques). En déduire quelle est l’application Φ◦φ de J dans J .

3. On suppose que f ∈ F est continue sur R. Montrer que, dans ces conditions, Φ( f ) = F est une fonction dérivable. Exprimer F ′(x) en fonction de f (x) et f (−x).

4. Déterminer l’ensemble des fonctions de J qui sont continues et élément du noyau de cf>.

Partie C

On considère l’élément g de J défini par

g (x)=

1

Log2 si |x|6 2

1

Log x si |x| > 2

1. Construire la courbe représentative γ de la fonction g dans un plan affine eu- clidien rapporté à un repère orthonormé. Montrer que g ∈J .

2. SoitG =Φ(g ). On ne cherchera pas à calculer G(x).

Démontrer que, pour tout t > 2, 1

Log t >

1

t .

En déduire que lim x→+∞

G(x)=+∞.

Bordeaux 2 septembre 1979

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

3. Soit h(x)= ∫x

2

1

Log t dt pour x > 2

Soient A, N,M les points de γd’abscisses respectives 2, p x et x ; A′, N′, M′ leurs

projections orthogonales sur l’axe x′Ox pour x > 4.

En majorant h(x) par la somme des aires de deux trapèzes montrer que

h(x)6

p x−2 2

[

1

Log2 +

1

Log p x

]

+ x

p x

2

[

1

Log x +

1

Log p x

]

En déduire que lim x→+∞

h(x)

x = lim

x→+∞

G(x)

x = 0.

4. Construire la courbe représentative de la fonctionG dans un plan affine eucli- dien rapporté à un repère orthonormé.

Bordeaux 3 septembre 1979

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