Exercitation d'algèbre - correction 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercitation d'algèbre - correction 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction f, l’écriture de N1, le point A et la droite D.
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NlleCaledonieSmars2008spe.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008 \ (spécialité)

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur ]−∞ ; 6[ par

f (x)= 9

6− x

On définit pour tout entier naturel n la suite (Un) par

{

U0 = −3 Un+1 = f (Un)

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la feuille jointe ac- compagnée de celle de la droite d’équation y = x. Construire, sur cette feuille annexe les pointsM0 (U0 ; 0) , M1 (U1 ; 0) , M2 (U2 ; 0) , M3 (U3 ; 0) etM4 (U4 ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un) ?

2. a. Démontrer que si x < 3 a alors 9

6− x < 3.

En déduire queUn < 3 pour tout entier naturel n.

b. Étudier le sens de variation de la suite (Un).

c. Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?

3. On considère la suite (Vn) définie par Vn = 1

Un−3 pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison − 1

3 .

b. Déterminer Vn puisUn en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (Un).

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’ad- dition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

PARTIE B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

βα7 12

=β×122+α×12+7= 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10

1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :

N1 =β1α 12

Déterminer l’écriture de N1 en base 10.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :

N2 = 1131= 1×10 3 +1×102+3×10+1

Déterminer l’écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira demanière générale en base 12 :

N = an · · ·a1a0 12

2. a. Démontrer que N a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. a. Démontrer que N an+·· ·+a1+a0 (11). En déduire un critère de divi- sibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre N s’écrit x4y 12 . Déterminer les valeurs de x et de y pour les-

quelles N est divisible par 33.

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10% n’ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restant de- viennent gris.

• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5% n’ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60% au premier éleveur, 40% au second.

1. Unenfant achète unpoisson le lendemainde son arrivée à l’animalerie, c’est- à-dire à l’âge de deux mois.

a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabi- lité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de troismois, afinqu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par pois- son acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérancemathéma- tique, arrondie au centime.

Nouvelle-Calédonie 2 mars 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droiteD de système d’équations paramétriques :

x = 9+4t y = 6+ t z = 2+2t

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du plan P , perpendiculaire à la droite D et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D.

c. Calculer la distance dB entre le point B et le plan P .

d. Exprimer la distance d en fonction de dB et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d .

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM2 en fonction de t . Retrouver alors la valeur de d .

Nouvelle-Calédonie 3 mars 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE (à rendre avec la copie)

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2 3 4 5 6−1−2−3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2008

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