Exercitation d'algèbre - correction 12, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercitation d'algèbre - correction 12, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe, l’espace rapporté à un repère orthonormal.
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PolynesieSjuin2008.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2008 \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation

z2−6z+13= 0.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes respectives

a = 3−2i, b = 3+2i, c = 4i.

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l’affixe du point Ω, centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l’ensemble des points M du plan tels que ∥

−−−→ MO +

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC

∥= 12.

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par β la partie imaginaire de l’affixe du pointM . On note N l’image du pointM par la rotation de centreΩ

et d’angle π

2 .

a. Montrer que N a pour affixe 5

2 −β+

5

2 i.

b. Comment choisir β pour que N appartienne à la droite (BC) ?

EXERCICE 2 4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère les

points A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 4), C(−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1).

1. a. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que −→ n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit (∆) la droite dont une représentationparamétrique est :

x = 2−2t y = −1+ t z = 4− t

avec t ∈R. Montrer que le point D appartient à la droite (∆) et que cette droite est per- pendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

EXERCICE 3 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans

l’évaluation.

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

1. Soit f la fonction solution sur R de l’équation différentielle y ′ = −y +2 telle que f (ln2)= 1.

Proposition 1 :« La courbe représentative de f admet au point d’abscisse 0, une tangente d’équation y = 2x« .

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [A ; +∞[ où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si lim x→+∞

f (x)= 0 alors lim x→+∞

f (x)g (x)= 0 ».

3. On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10% de sa masse par minute.

Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux évènements d’unmême universΩmuni d’une probabilité p.

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A∪ B)= 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ».

EXERCICE 3 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans

l’évaluation.

1. Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+1 sont premiers entre eux. »

2. Soit x un entier relatif.

Proposition 2 : « x2+x+3= 0(modulo 5) si et seulement si x ≡ 1(modulo 5). »

3. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba7.

Proposition 3 : « Si N est divisible par 7 alors a+b est divisible par 7. »

4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Proposition4 : « La similitude directe de rapport 2, d’angle π

6 et de centre le

point d’affixe 1− i a pour écriture complexe z ′ = (p

3+ i )

z+ p 3− i

p 3. »

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère un point A. On désigne par a son affixe. On note s la réflexion

d’axe (

O ; −→ u )

et sA la symétrie centrale de centre A.

Proposition5 :« L’ensemble des nombres complexes a tels que s sA = sA ◦ s est l’ensemble des nombres réels. »

EXERCICE 4 7 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Polynésie 2 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

— Si u> 0 sur [a ; b] alors ∫b

a u(x)dx > 0.

— Pour tous réels α et β b

a

[

αu(x)+βv(x) ]

dx =α b

a u(x)dx+β

b

a v(x)dx.

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec

a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x)6 g (x), alors ∫b

a f (x)dx6

b

a g (x)dx.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= x+ ln (

1+e−x )

.

Sa courbe représentative (C ) ainsi que la droite (D) d’équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur [0 ; +∞[.

2. a. Montrer que la courbe (C ) admet pour asymptote la droite (D).

b. Étudier la position de (C ) par rapport à (D).

3. Soit I l’intégrale définie par : I= ∫1

0 ln

(

1+e−x )

dx = ∫1

0 [ f (x)− x]dx.

On ne cherchera pas à calculer I.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Montrer que pour tout réel t > 0, on a ln(1+ t )6 t . (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (t)= ln(1+ t)− t .) On

admettra que pour tout réel t > 0, on a t

t +1 6 ln(1+ t).

c. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[ , on a : e−x

e−x +1 6 ln(1+e−x )6 e−x .

d. Montrer que ln

(

2

1+e−1

)

6 I6 1−e−1.

e. En déduire un encadrement de I d’amplitude 0,4 par deux nombres déci- maux.

4. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respecti- vement à (C ) et (D).

On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indis- cernables.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-

tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Polynésie 3 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

ANNEXE à rendre avec la copie

EXERCICE 4

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6−1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

5

6

(C )

D

Polynésie 4 juin 2008

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