Exercitation d'algèbre - correction 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercitation d'algèbre - correction 8, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Donner la valeur de A. Déterminer la distance du point A à la droite (D).
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[ Baccalauréat S Métropole 19 juin 2008 \

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les courbes C f et Cg données ci-dessous représentent respectivement, dans un re-

père orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, les fonctions f et g définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx et g (x)= (lnx)2.

1 e

1

−→ ı

−→

C f

Cg

1. On cherche à déterminer l’aire A (en unités d’aire) de la partie du plan ha- churée.

On note I = ∫e

1 lnx dx et J =

∫e

1 (lnx)2 dx.

a. Vérifier que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

F (x)= x lnxx est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I .

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que J = e−2I .

c. En déduire J .

d. Donner la valeur de A .

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa

démarche même si elle n ’aboutit pas.

Pour x appartenant à l’intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe C f d’abscisse x et N le point de la courbe Cg de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN .

EXERCICE 2 5 points

Commun à tous les candidats

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère les points

A(1 ; 1 ; 0), B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ; −1 ; 2).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne

2x+ y z−3= 0.

2. On considère les plans (P ) et (Q) d’équations respectives x+2y z−4 = 0 et 2x+3y −2z−5 = 0.

Démontrer que l’intersection des plans (P ) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est :

x = −2+ t y = 3 z = t

(t ∈R)

3. Quelle est l’intersection des trois plans (ABC), (P ) et (Q) ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en

compte dans l’évaluation.

Déterminer la distance du point A à la droite (D).

EXERCICE 3 5 points

Commun à tous les candidats

La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléa- toire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ X est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout t > 0, P (X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par R(t) = P (X > t) est appelée fonc- tion de fiabilité.

1. Restitution organisée de connaissances

a. Démontrer que pour tout t > 0 on a R(t)= e−λt .

b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillisse- ment, c’est-à-dire que pour tout réel s > 0, la probabilité conditionnelle PX>t (X > t + s) ne dépend pas du nombre t > 0.

2. Dans cette question, on prend λ= 0,00026.

a. Calculer P (X 6 1000) et P (X > 1000).

b. Sachant que l’évènement (X > 1000) est réalisé, calculer la probabilité de l’évènement (X > 2000).

c. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la pro- babilité qu’il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Métropole 2 19 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

EXERCICE 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 1 cm).

Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3− i et 2. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = z2−4z. Le point M ′ est appelé l’image deM .

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice.

2. Calculer les affixes des points A′ et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe −5.

4. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′+4= (z−2)2.

b. En déduire une relation entre ∣

z ′+4 ∣

∣ et |z−2| et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg

(

z ′+4 )

et arg (z−2),

c. Que peut-on dire du point M ′ lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d’affixe 2+2ei π 3 , J le point d’affixe −4 et E′ l’image de E.

a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle (

−→ u ;

−→ IE

)

.

b. Calculer la distance JE′ et une mesure en radians de l’angle (

−→ u ;

−→ JE′

)

.

c. Construire à la règle et au compas le point E′ ; on laissera apparents les traits de construction.

EXERCICE 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1− i et zB = 7+ 7

2 i.

1. On considère la droite (d) d’équation 4x+3y = 1.

Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont en- tières est l’ensemble des points Mk (3k + 1 ; −4k − 1) lorsque k décrit l’en- semble des entiers relatifs.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui trans- forme B en M−1(−2 ; 3).

3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 2

3 iz+

1

3 − 5

3 i.

Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caracté- ristiques de s.

4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l’image de Bn par s.

a. Déterminer la longueur ABn+1 en fonction de ABn .

b. À partir de quel entier n le point Bn , appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10−2 ?

c. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont ali- gnés.

Métropole 3 19 juin 2008

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