Exercitation de géométrie 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercitation de géométrie 1 sur l'espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Existe-t-il des points invariants par f ? Calculer, en se servant des résultats ...
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Aix-en-Provence \

EXERCICE 1

Soit E un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit f l’application de E dans E qui, au point M de coordonnées (x ; y ; z), associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

tel que :

x′ =− 1

3 x+

2

3 y +

2

3 z+

4

3

y ′ = 2

3 x

1

3 y +

2

3 z+

4

3

z ′ = 2

3 x+

2

3 y

1

3 z+

10

3

1. Existe-t-il des points invariants par f ?

2. Démontrer que l’endomorphisme <p associé à f est une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à une droite vectorielle que l’on déterminera.

3. En déduire que f est un vissage dont on déterminera les éléments (axe, vec- teur, angle).

EXERCICE 2

La fonction f est définie sur ]0 ; π[ par

f (x)= 1

sinx .

1. Étudier les variations de f et représenter la courbe d’équation y = f (x) dans un repère orthonormé.

2. a. Montrer que la restriction g de f à [π

2 ; π

[

possède une application réci-

proque g−1. On précisera l’ensemble de définition de g−1.

b. Montrer que la fonction g−1 est dérivable sur un ensemble que l’on pré- cisera. Calculer la fonction dérivée.

3. Calculer, en se servant des résultats précédents, l’intégrale définie

J = ∫

p 2

2 p 3

3

1

t p t2−1

dt .

PROBLÈME

La notation Log désigne le logarithme népérien, e est la base du logarithme népé- rien, et, si n est un entier naturel et x un réel strictement positif, Logn x est la puis- sance d’exposant n du logarithme népérien de x. On admettra que, pour tout entier n,

lim x→0 x>0

(

x Logn x )

= 0.

Partie A

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Pour tout entier naturel n, montrer qu’on peut définir une application In de ]0 ; +∞[ dans R par

In (x)= ∫e

x Logn t dt .

Calculer I0(x).

Démontrer que, pour tout n supérieur ou égal à 1,

In (x)= e− xLog n xnIn−1(x).

En déduire I1(x) et I2(x).

2. On pose, pour tout entier naturel n,

Jn = lim x→0 x>0

In (x)

si cette limite existe.

Montrer que J0 existe et la calculer.

Montrer par récurrence que Jn existe pour tout n. Déterminer une relation liant Jn et Jn−1 pour tout n entier naturel non nul.

Calculer J1, J2, J3, J4.

Application : (a ; b) étant un couple de nombres réels, calculer

S(a ; b)= 1

e lim x→0 x>0

[∫e

x

(

aLog2 t +bLog t )2

dt

]

.

Vérifier que, pour tout (a ; b) dans R2,

S(a ; b)= S

(

2ab p 5

; 9a−2b p 5

)

.

Partie B

1. On désigne par E l’ensemble des applications de ]0 ; +∞[ dans R. On rappelle que E, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel.

Pour tout couple (a ; b) de nombres réels, on désigne par fa ; b l’élément de E tel que

fa ; b(x)= aLog 2 x+bLog x.

Soit F l’ensemble des applications fa ; b pour (a ; b) dans R 2.

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.

Démontrer que B = (

f1 ; O , f0 ; 1 )

est une base de F . Calculer les coordonnées de fa ; b dans B .

2. Étudier les applications f1 ; 0 et f0 ; 1 et en faire la représentation graphique dans un même plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Cette représentationmet en évidence un domaine plan fermé délimité par un arc de chacune des courbes représentatives de f1 ; O et f0 ; 1 et inclus dans la bande 16 x6 e.

Calculer l’aire de ce domaine.

Partie C

Aix-en-Provence 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

Soit g l’application de F dans F telle que

g (

fa ; b )

= f 2abp 5

; 9a−2bp 5 .

Montrer que g est linéaire et déterminer samatrice A dans la baseB . Calculer A2 ,A3,A4 ? En déduire que g est bijective et donner la matrice de g−1 dans la base B .

Partie D

Montrer qu’on définit une application Φ de F ×F dans R par

φ (

fa ; b , fa′ ; b′ )

= 1

e lim x→0 x>0

[ ∫e

x fa ; b(x) · fa′ ; b′ (x)dx

]

.

Démontrer que Φ est une forme bilinéaire symétrique sur F × F . Montrer que Φ

(

fa, b , fa, b )

= S(a,b) et en déduire que Φ est un produit scalaire sur F . Onmunit F de ce produit scalaire. Calculer

f0 ∥

∥. Déterminer a > 0 et b de sorte que B′ =

(

fa, b , f0, 1 )

soit une base orthonormée de F . Caractériser l’endomorphisme g de l’espace vectoriel euclidien F.

Aix-en-Provence 3 septembre 1981

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