Exercitation de géométrie 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 10 sur le couple d’entiers naturels non nuls. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan vectoriel rapporté à la base, la fonction numérique de la variable réelle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1981 Besançon 1 \

EXERCICE 1

Soit (a ; b) un couple d’entiers naturels non nuls ; on notem leur plus petit commun

multiple et d leur plus grand commun diviseur.

Exprimer, à l’aide de d , les couples (a ; b) tels que

{

ba = d

b2−a2 = md2.

EXERCICE 2

1. Soit P un plan vectoriel rapporté à la base (

−→ ı ,

−→ )

.

Pour tout réel λ, on note l’application de P dans P qui fait correspondre

au vecteur −→ u de coordonnées (x ; y) le vecteur

−→ u′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

définies par

{

x′ = λx+ (1−λ)y

y ′ = (1+λ)xλy.

Démontrer que, pour tout réel λ, est un endomorphisme involutif que l’on

précisera.

2. Soit = .

Démontrer que = IdP+λ.h, où h désigne un endomorphisme tel que h h

est l’application nulle.

Soit G = {

|λ ∈R }

. Démontrer que l’ensemble G, muni de la loi de composi-

tion des applications est un groupe isomorphe à Rmuni de l’addition.

EXERCICE 2

Partie A

On appelle f la fonction numérique de la variable réelle x, définie sur R, par

f (x)= 2e2x −ex

où e représente la base du logarithme nepérien.

1. Déterminer les variations de la fonction f .

Etudier lim x→+∞

f (x)

x .

Construire la représentation graphique (C ) de f dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. (Unité : 4 cm.)

Préciser le point d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses.

1. Grenoble, Dijon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit t un réel inférieur à Log 1

2 . Calculer, en cm2, l’aire a(t) du domaine plan

Dt , défini par

{

t 6 x 6 Log 1

2 f (x) 6 y 6 0.

Déterminer lim t→−∞

a(t).

3. Soit I =

[

Log 1

4 ; +∞

[

.

a. On appelle g l’application de I dans f (I) qui, à x, associe g (x)= f (x).

Justifier l’existence de g−1, application réciproque de g . Pour x élément

de f (I), expliciter g−1(x).

b. Construire la représentation graphique (Γ) de g−1 dans le même repère

que (C ).

En déduire l’aire en cm2 du domaine défini par

− 1

8 6 x 6 0

Log 1

4 6 y 6 g−1(x)

4. Démontrer que, pour tout réel x0, strictement supérieur à

(

− 1

8

)

l’équation

(

x0+ 1

8

)

g−1(x)=

x0

− 18

g−1(t)dt ,

d’inconnue réelle x, admet une solution unique comprise entre

(

− 1

8

)

et x0.

Partie B

Soit n entier naturel non nul. On appelle fn la fonction numérique de la variable

réelle x, définie sur R par

fn (x)= n

p=1

(−1)ppepx .

1. Démontrer que la primitive Fn de fn qui s’annule pour x = 0 est définie par

x ∈R, Fn(x)= (−1)ne(n+1)x −ex

1+ex + 1− (−1)n

2

2. En déduire que

x ∈R, fn (x)= (−1)ne(n+2)x + (−1)n(n+1)e(n+1)x −ex

(1+ex )2 .

3. Soit u la suite définie pour tout entier naturel n, non nul, par

un = n

p=1

(−1)p p

np .

En utilisant ce qui précède, montrer que

un =

(−1)n n+2

nn+1 −

1

n (

1+ 1

n

)2

En déduire lim n→+∞

un .

Besançon 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

Dans tout le problème la notation Log x représente le logarithme népérien du réel

x.

Besançon 3 septembre 1981

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