Exercitation de géométrie 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (37.7 KB)
2 pages
60Numéro de visites
Description
Exercitation de géométrie 11 sur le plan affine euclidien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble E des points de D, Déterminer le sous-ensemble F des points de E.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
BordeauxCjuin1981*.dvi

[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit D la

droite de P d’équation : 2x−3y +1 = 0.

1. Déterminer l’ensemble E des points de D dont les coordonnées sont des en- tiers relatifs.

2. Déterminer le sous-ensemble F des points de E dont le carré de la distance au point O est multiple de 5.

Préciser les points deF dont les coordonnées sont strictement comprises entre −20 et +20.

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit C le corps des nombres complexes et i un nombre complexe tel que i2 =−1.

1. Calculer

(

1

2 i p 3

)4

.

2. Déterminer les nombres réels a, b tels que

(a+ ib)4 = 73

16 − (

11

2

p 3

)

i.

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

Soit a un nombre réel strictement positif et n un entier naturel n> 1 ; on appelle fn

la fonction numérique définie sur l’intervalle réel

[

− 1

a ; 1

a

]

par

fn(x)= (

1−a2x2 ) n 2 .

Soit Γn la courbe représentative de fn dans un plan affine euclidien P rapporté à un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les coniques C1 et C2 contenant respectivement Γ1 et Γ2.

Préciser la nature de ces coniques. Indiquer leurs foyers et les directrices as- sociées (discuter selon les valeurs de a).

2. Étudier les variations de f3.

Tracer Γ1, Γ2, Γ3 dans un même repère en prenant a = 2. (On ordonnera les réels f1(x), f2(x) et f3(x) pour le tracé de Γ1, Γ2, Γ3·

Partie B

1. Soit a un nombre réel appartenant à [0 ; π]. Calculer les coordonnées du point d’intersection de Γ1 avec la droite d’équation

(cosα)y a(sinα)x = 0 pour a 6= 0eta 6=π.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. On désigne par l’ensemble des points M de P dont les coordonnées (x ; y) vérifient

− 1

a 6 x 6

1

a et

0 6 y 6 p 1−a2x2

On désigne par le demi-plan formé des points M dont les coordon- nées (x ; y) vérifient

(cosα)y a(sinα)x 6 0.

(étudier la position du point (1 ; 0) par rapport au demi-plan ).

Soit =. L’aire deest notée A (α).

Démontrer que pour tout a α ∈ [0, ; π] on a

A (α)=A (

π

2

)

+ cosαsinα

2a − ∫ cosα

a

0

1−a2x2)dx.

(

On distinguera pour cela trois cas :α= π

2 , α

[

0 ; π

2

[

, α ∈ ]

π

2 ; π

])

.

b. Démontrer que la fonction A : α 7−→ A (α) est dérivable sur l’intervalle [0 ; π], et définir la fonction dérivée A ′ de A sur cet intervalle.

En déduire que pour tout α ∈ [0 ; π] on a A (α)= α

2a .

Partie C

Soit Ta l’application affine de P dans P qui à tout point m de coordonnées (x ; y) associe le point M de coordonnées (X ; Y ) telles que

X = ax, Y = y.

Quelles sont les images de Γ1 etpar Ta ? Calculer l’aire de l’image depar Ta .

Partie D

On suppose dans la suite que α ∈ ]

0 ; π

2

]

. Soit un point mobile dans le plan P dont

les coordonnées à la date t (t ∈R) sont {

x(t) = cos(αcos2 t) y(t) = sin(αcos2 t).

Étudier les fonctions : t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t). En déduire la trajectoire deM et décrire le mouvement deM (on ne cherchera pas à vérifier si le mouvement est accéléré ou retardé).

Bordeaux 2 juin 1981

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome