Exercitation de géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (40.9 KB)
3 pages
201Numéro de visites
Description
Exercitation de géométrie 2 sur l’ensemble des nombres premiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme en question, Montrer la suite u est croissan...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AixMarseilleCjuin1981.dvi

[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1981 \

EXERCICE 1

Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un élément de N∗ (ensemble des entiers naturels non nuls.

1. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1, où n est élément deN∗.

Montrer que E a aumoins deux éléments.

2. On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et X = 4P −1.

a. Trouver un minorant de X .

b. Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout facteur premier de X est soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1 où n est un élément deN∗.

c. Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme 4n−1 où n est un élément deN∗.

3. En considérant un facteur premier p de X de la forme 4n−1, la définition de P et la relation X = 4P −1, achever la démonstration par l’absurde.

EXERCICE 2

Dans un plan affine P rapporté au repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

, soit A et B les points

de coordonnées respectives (−1 ; 0) et (0 ; 1), et soit t un nombre réel non nul. On désigne par f , g , h les homothéties de rapport t et de centres respectifs O, A, B. À tout point M du plan P, on fait correspondre successivement les points : M1 = f (M), M2 = g (M1) , M3 = h (M2) etM4 = f (M3).

1. Représenter sur unmême figure les points M1,M2,M3,M4 dans le cas où t = 2

et −−−→ OM =

−→ ı +

−→ . (On pourra donner aux représentations de

−→ ı et

−→ la longueur

0,5 cm).

2. Exprimer le vecteur −−−→ OM4 en fonction de t et des vecteurs

−→ ı et

−→ .

3. Soit ϕt l’application du plan P dans lui-même définie par :

pour tout point M de P, ϕt (M)= f h g f (M).

Déterminer suivant les valeurs de t l’ensemble des points de P invariants par ϕt et préciser dans chaque cas la nature de ϕt .

PROBLÈME

On noteraN l’ensemble des entiers naturels,N∗ l’ensemble des entiers naturels non nuls, N′ l’ensemble des entiers naturels privés des nombres 0 et 1.

Partie A

On considère les suites u et v définies sur N∗ par

u1 = 1

v1 = 1 et, pour tout n,élément deN′

un = 1

12 +

1

22 +·· ·+

1

n2

vn = 1+ 1

1×2 +

1

2×3 +·· ·+

1

(n−1)n

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Trouver deux réels A et B tels que, pour tout n, élément deN′

1

(n−1)n =

A

n−1 +

B

n .

En déduire que, pour tout n, élément deN′,

vn = 2− 1

n .

2. Montrer que la suiteu est croissante, que, pour toutn, élément deN′ :un 6 vn , que la suite u est majorée.

Partie B

On rappelle que si q est un nombre complexe différent de 1 et n un élément deN

1+q +q2+·· ·+qn = 1−qn+1

1−q .

1. Soit t un élément de [0 ; π] ; on pose pour n, élément de N′

Cn (t)= n

k=1 coskt et Sn(t)=

n

k=1 sinkt .

a. Calculer le nombre complexe Cn (t)+ iSn(t).

En déduire que si t est un élément de ]0 ; π]

Cn(t)= sin

nt

2 cos

n+1

2 t

sin t

2

et si t = 0, Cn(0)=n.

b. L’application Cn de [0 ; π] dansN est-elle continue sur [0 ; π].

2. Vérifier que pour tout t , élément de ]0 ; π] :

1+2Cn (t)= sin

2n+1

2 t

sin t

2

et montrer que l’application de ]0 ; π] dans R qui à t associe sin

2n+1

2 t

sin t

2

peut

être prolongée en une fonction gn continue sur [0 ; π].

3. Montrer que pour tout n, élément deN∗,

π

0

(

t2

2π t

)

cosnt dt = 1

n2 .

En déduire que

un =

π

0

(

t2

2π t

)

Cn(t)dt .

Aix-Marseille 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

4. Vérifier que

1

2

π

0

(

t t2

2π

)

dt = π 2

6 .

et que, pour tout n, élément deN∗ :

π 2

6 −un =

1

2

π

0

(

t t2

2π

)

gn(t)dt .

Partie C

On considère la fonction numérique f définie sur [0 ; π] par f (0)= 2 et pour tout t , élément de ]0 ; π]

f (t)= t

t2

2π

sin t

2

.

1. Montrer que f est continue sur [0 ; π] ; en déduire l’existence d’un réel M tel que, pour tout t , élément de [0 ; π] :

06 f (t)6M .

2. Soit α un réel fixé tel que 0<α<π.

a. Montrer que, pour tout n, élément deN,

α

0 f (t)sin

2n+1

2 t dt

6αM .

b. Montrer que f est dérivable sur [α ; π] et que la fonction dérivée f ′ est continue sur ce segment.

En déduire l’existence d’un réelM ′ tel que, pour tout t , élément de [α ; π] f ′(t)6M ′.

c. On pose, pour tout n, élément deN,

In =

π

α

f (t)sin 2n+1

2 t dt .

Montrer en utilisant une intégration par parties, que

lim n→+∞

In = 0.

3. Déduire de la question C 2. que

lim n→+∞

un = π 2

6 .

Aix-Marseille 3 juin 1981

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome