Exercitation de géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 3 sur la courbe représentative de f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble de définition de f, l’ensemble des nombres complexes, Résoudre dans C, l’équation.
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[ Baccalauréat C Amérique centrale juin 1981 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= x+ 1

2 + log

x

x+1

On appelle C la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère or-

thonormé (

O, −→

ı , −→

)

. On prendra 2 cm comme unité.

1. Préciser l’ensemble de définition de f Démontrer que le point I de coordon-

nées

(

1

2 ; 0

)

est centre de symétrie pour C .

2. Étudier les variations de f et construire la courbe C .

3. Calculer en cm2 l’aire λ du domaine plan fini limité par la courbe C , son asymptote oblique et les droites d’équations respectives x = 1 et x = λ, où λ est un réel supérieur ou égal à 1.

EXERCICE 2 4 POINTS

C étant l’ensemble des nombres complexes, on considère la fonction polynôme P de C dans C définie par

P (z)= (z2+3z)2+ (3z+5)2.

1. Factoriser P (z) en deux polynômes du second degré à coefficients complexes.

2. Résoudre dans C, l’équation

z2+3(1+ i)z+5i= 0.

En déduire les solutions dans C de l’équation : P (z)= 0, puis montrer que P (z) est le produit de deux polynômes du second degré, à coefficients réels.

3. Application.Montrer que quel que soit l’entier b supérieur ou égal à 6, si, dans la base b, l’entier A s’écrit 130, l’entier B s’écrit 35 alors l’entier A2+B2 est le produit de deux nombres entiers dont l’écriture, dans la base b, est indépen- dante de b.

PROBLÈME 12 POINTS

On considère un plan vectoriel euclidien E rapporté à une base orthonormée B = (

−→

ı , −→

)

. On note L(E ) l’ensemble des applications linéaires de E dans lui-même,

GL(E ) le groupe linéaire de E et H l’ensemble des éléments v de E vérifiant

f (

−→

v )

=α −→

v avec f élément de L(E ), et α réel.

Le noyaude f est doncnotéH f , 0 etH f , 1 est donc l’ensemble des vecteurs invariants par f .

Partie A

Soit g0 l’application linéaire de E dans E dont la matrice dans la base B est

(

1 1 2 1

)

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que g0 est un élément deGL(E ). Déterminer la matrice dans B de g−10 , application réciproque de g0.

2. Soit s0 la symétrie orthogonale par rapport à la droite engendrée par le vecteur −→

ı +2 −→

. Déterminer la matrice de s0 dans la base B .

3. On considère l’application linéaire s′0 = g0 ◦ s0 ◦ g −1 0 . Déterminer la nature et

les éléments géométriques de s′0.

Partie B

Dans cette partie du problème, g désigne un élément deGL(E ), g−1 son application réciproque et D et ∆ deux droites distinctes de E .

1. Soit s la symétrie par rapport àDparallèlement à∆. On considère l’application linéaire

s′ = g s g−1.

Démontrer que s′ est la symétrie par rapport à g (D) parallèlement à g (∆). Retrouver à l’aide de ces résultats ceux de la question A 3.

2. Soit f un élément de L(E ). On considère l’application ϕg de L(E ) dans lui- même qui associe à f l’application linéaire ϕg ( f )= g f g−1.

a. Préciser ϕg ( f ) lorsque f est une homothétie,

b. Démontrer que ϕg ( f ) est une bijection de L(E ) sur lui-même et que

ϕg ( f ) (

f1 ◦ f2 )

=ϕg ( f ) (

f1 )

ϕg ( f ) (

f2 )

.

c. Démontrer que, quel que soit le réel α, et quel que soit l’élément f de L(E ) :

Hϕg ( f ), α = g (

H f , α )

.

d. Déterminer la nature et les éléments remarquables de ϕg ( f ) lorsque f est la projection sur D faite parallèlement à ∆.

3. On suppose que g et f sont des isométries vectorielles.

a. démontrer que ϕg ( f ) est une isométrie vectorielle.

b. f étant une rotation vectorielle, déterminer ϕg ( f ) en fonction de f sui- vant la nature de g .

Partie C

On suppose maintenant que E est orienté et que la baseB est directe. SoitP un plan

affine euclidien associé à E et soit R = (

O, −→

ı , −→

)

un repère de P .

Si F est une application affine de P dans P , on note InvF l’ensemble des points de P invariants par F .

1. Démontrer que, quelle que soit l’application affine bijective G de P dans P admettant G−1 comme application réciproque

InvGFG−1 =G (InvF ) .

2. On considère la rotation r de centre A(0 ; 1) et dont une mesure de l’angle est π

2 .

Soit D et ∆ les droites de P d’équations respectives y = x −1 et y = 0 dans le repère R. On appelle s1 la symétrie par rapport à D parallèlement à ∆ et s2 la symétrie orthogonale par rapport à D. Déterminer la nature et les éléments remarquables de r s1◦r−1 et de s2◦r s2.

Amérique centrale 2 juin 1981

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