Exercitation de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (40.7 KB)
3 pages
361Numéro de visites
Description
Exercitation de géométrie 5 sur l’algorithme d’Euclide. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien rapporté au repère, la rotation de centre.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AmiensCjuin1981.dvi

[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1981 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide :

a. Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux.

b. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que 1981a+1815b = 1. 2. En déduire que dans Z/1981Z, 1815 admet un inverse que l’on déterminera.

3. Résoudre alors dans Z/1981Z l’équation 1815x+1515 = 732. N.B.- n désigne la classe de l’entier n dans l’ensemble Z/1981Z.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé direct.

Soit f l’application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) dans le

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, associe la point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

tel que

x′ = 1

2 x+

p 3

2 y

y ′ = p 3

2 x+

1

2 y

1. a. Montrer que f est bijective et déterminer l’ensemble des points inva- riants par f .

b. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que O, M , M ′ soient ali- gnés.

2. On désigne par M1 et M2 les projections orthogonales du point M respective-

ment sur les droites (

O, −→ ı )

et (

O, −→

)

. Montrer queM ′ est le transformé deM1 dans une rotation de centreM2 dont on déterminera une mesure de l’angle.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Pour tout entier naturel n, non nul, on considère la fonction fn définie sur [0 ; +∞[ par

fn (x)= {

xn logx si x > 0 0 si x = 0.

1. Étudier les fonctions f1 et f2 et construire leur représentation graphique res-

pective (C1) et (C2) dans un repère orthonormé du plan (

O, −→ ı ,

−→

)

(on pren-

dra 4 cm pour unité de longueur). Préciser la position relative de (C1) et (C2).

2. Prouver que, pour tout n, fn est intégrable sur [0 ; 1]. On définit, alors, la suite (un )n∈N⋆ par

n ∈N⋆, un = ∫1

0 fn (x)dx.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de fn sur ]0 ; 1].

1. Amiens

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. En déduire une primitive de fn sur [0 ; 1].

c. Montrer que un =− 1

(n+1)2 et déterminer lim

n→+∞ un .

d. Soit D le sous-ensemble du plan constitué des points M dont les coor-

données (x ; y) dans (

O, −→ ı ,

−→

)

vérifient 06 x 6 1 et f1(x)6 y 6 f2(x).

Calculer, en centimètres carrés, l’aire de D.

Partie B

Soit g la fonction, définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)=

x logx

x2+1 si x > 0

0 si x = 0.

1. Montrer que g est intégrable sur [0 ; 1].

2. Soit x un réel quelconque.

a. Calculer pour tout n deN la somme

xx3+ x5− x7+·· · + (−1)n × x2n+1.

b. En déduire que

n ∈N, x

1+ x2 = xx3+·· ·+ (−1)n × x2n+1+ (−1)n+1

x2n+3

1+ x2 .

3. En déduire que

n ∈N, ∫1

0 g (x)dx =u1−u3+·· ·+ (−1)nu2n+1+ (−1)n+1

∫1

0

f2n+3(x)

1+ x2 dx.

4. On pose pour tout n deN,

Sn =u1−u3+·· ·+ (−1)nu2n+1.

a. Prouver que ∀n ∈N ∣

∫1

0 g (x)dxSn

6−u2n+3.

b. En déduire que lim n→+∞

Sn = ∫1

0 g (x)dx.

c. Déterminer un entier n0 tel que

∫1

0 g (x)dxSn0

6 10−2.

En déduire une valeur approchée à 10−2 près de ∫1

0 g (x)dx.

Partie C

SoitG la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

G(x)= ∫x

0 g (t)dt .

1. Étudier la dérivabilité deG et son sens de variation.

2. a. Montrer que ∀t ∈R, t > 1, 1

2t2 6

1

t2+1 6

1

t2 .

Aix-Marseille 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. En déduire que

x ∈R, x > 1, 1

2

x

1

log t

t dt 6G(x)6

x

1

log t

t dt .

c. Calculer pour tout x > 1, ∫x

1

log t

t dt .

d. Déduire de ce qui précède lim x→+∞

G(x) et lim x→+∞

G(x)

x . (On pourra poser

X = p x.)

3. Donner l’allure de la courbe représentative deG. Préciser la tangente au point d’abscisse 1 et la nature de la branche infinie.

La courbe a-t-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?

N. B.- Pour obtenir une valeur approchée deG(0) on utilisera B 4. c.

Pour obtenir une valeur approchée deG(2) on utilisera l’encadrement obtenu au C 2.

Aix-Marseille 3 juin 1981

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome