Exercitation de géométrie 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 6 sur la projection affine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la construction de M, le plan affine de repère.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1981 Amiens \

EXERCICE 1

On se propose de résoudre, dans l’ensemble N, l’équation

x2− x−136 = 5s(x),

s(x) représente la somme des chiffres de x exprimée dans le système décimal.

1. Montrer qu’il n’y a pas de solution à un chiffre.

2. Déterminer les solutions à deux chiffres dont le chiffre des dizaines est 1.

3. a. x désignant un entier naturel à deux chiffres dont le chiffre des dizaines est différent de 1, déterminer un encadrement de x. En déduire un enca- drement de x2− x−136.

b. Majorer s(x) et montrer qu’il n’y a pas de solution à deux chiffres dont le chiffre des dizaines est différent de 1.

4. Par uneméthode analogue au 3.,montrer qu’il n’y a pas de solution àn chiffres pour n> 3.

EXERCICE 2

Soit f l’application de R+ vers R définie par :

{

x 7−→ x2 lnx pour x > 0 0 7−→ 0.

1. Montrer que f est continue sur R+. f est-elle dérivable en 0 ?

2. Étudier f et tracer sa représentation graphique (C) dans le plan muni du re-

père orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : 6 cm).

3. On désigne par α un nombre réel strictement positif ; calculer l’intégrale défi- nie par :

A(α)= ∫α

1 f (x)dx.

En déduire l’aire en cm2, du domaine (D) du plan défini par :

(D)= {M(x ; y), 06 x 6 1 et f (x)6 y 6 0}.

PROBLÈME

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Pour tout réel λ on définit l’application affine, qui à tout point

M(x ; y ; z) de E associe le point M1 (

x1 ; y1 ; z1 )

tel que

= (1−λ)x+3λz+2λ yλ = (1−λ)y +2λz+λ zλ = z.

Partie A

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles est bijective.

2. Montrer que, pour λ non nul, admet un ensemble, D de points invariants que l’on caractérisera. Quelle est la nature de f0 ?

3. Montrer que f1 est une projection affine que l’on déterminera par ses élé- ments caractéristiques.

4. Démontrer que, pour tout λ réel et pour tout M de E, le vecteur −−−−→ MMλ appar-

tient à un plan vectoriel P dont on donnera une base.

Comparer −−−−→ M1M et

−−−−→ MMλ ; en déduire une construction de.

5. On désigne par F l’ensemble des applications bijectives.

Montrer que F est un groupe commutatif pour la loi ◦ de composition des applications.

Partie B

On désigne par P le plan affine de repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Montrer que (P) ⊂ P, pour tout λ réel. En déduire que, pour λ 6= 0 et λ 6= 1, la restriction de au plan P est une homothétie de centre A(2 ; 1) dont on déterminera le rapport.

2. Dans P, on considère la courbeC d’équation

x2+4y2−2x−8y +4 = 0.

Montrer queC est une conique dont on déterminera les sommets et le centre.

3. Pour tout k réel nonnul, onnoteCk l’imagedeC par l’homothétie,H de centre A et de rapport k.

Déterminer une équation cartésienne deCk et en déduire sa nature.

4. Montrer qu’il existe une valeur k0, et une seule, de k pour laquelle Ck passe par O ; en déduire que Ck a pour équation,

x2+4y2−8y = 0.

Représenter C et Ck sur unmême graphique.

Partie C

Dans le plan P, on considère le point mobile M , dont les coordonnées à tout instant

t supérieur ou égal à zéro, sont données dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

par

{

x(t) = 2cos[πLog (t +1)] y(l) = 1+ sin[πLog (t +1)].

1. a. Montrer que la trajectoire du mobile M est la courbe Ck0 du B 4, et qu’à l’instant t0 = 0 le mobile est en A.

b. Calculer les coordonnées du vecteur-vitesse, −−−→ V (t) , et du vecteur-accélérateur,

−−−→ Γ(t) , du mobile M à l’instant t .

2. On désigne par t1 la date du premier passage dumobileM en A, par t2, la date de son deuxième passage en A et, d’une manière générale, par tn la date de son n-ième passage en A. Calculer tn en fonction de l’entier naturel n.

En déduire −→ Vn =

−−−−→ V (tn) et

−→ Γn =

−−−−→ Γ (tn) .

Amiens 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

3. On considère les suites (an) , (bn ) , (cn ) et (dn), définies pour tout n, entier na- turel, par

an = −→ Vn ·

−→ ı , bn =

−→ Vn ·

−→ , cn =

−→ Γn ·

−→ ı , dn =

−→ Γn ·

−→ .

Montrer que ce sont quatre suites géométriques dont on donnera les éléments caractéristiques.

En déduire

lim n→+∞

−→ Vn et lim

n→+∞

−→ Γn .

4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle le temps mis par le mobile entre le n-ième et le (n+1)-ième passages en A est supérieur à 100.

N. B. - La partie C est indépendante des parties A et B.

Amiens 3 septembre 1981

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