Exercitation de géométrie 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 7 sur la fonction numérique de la variable x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des applications de R dans R, les fonctions numériques.
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[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1981\

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable x définie par

f (x)= log (

e2x −3ex +2 )

.

1. Étudier la fonction f et construire sa courbe représentative C dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé.

On montrera notamment que la droite d’équation y = 2x est asymptote à la courbe C .

2. Soit g la restriction de f à l’intervalle ] log2 ; +∞[. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1. Calculer g−1(x).

EXERCICE 2 3 POINTS

n étant un entier relatif quelconque, on considère les entiers relatifs a et b définis par

a = n3−2n+5 ; b = n+1.

1. Montrer que P.G.C.D. (a, b) = P.G.C.D. (b, 6).

2. Pour quelles valeurs de n, a-t-on, P.G.C.D.(a, b)= 3 ?

3. Déterminer n pour que le nombre a

b soit un entier relatif.

PROBLÈME 3 POINTS

On appelle F l’ensemble des applications de R dans R deux fois dérivables sur R. On sait que F, muni de l’addition des applications et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R. Si f est un élément de F , on note f ′ la fonction dérivée de f et f ′′ la fonction dérivée seconde de f .

Partie A

ω étant un réel non nul, on considère le sous-ensemble de F des applications f qui vérifient

f ′′ =−ω2 f .

1. Démontrer que est un sous-espace vectoriel de F .

2. On considère les fonctions numériques ǫ1 et ǫ2 définies pour tout x réel par

ǫ1(x)= cosωx et ǫ2(x)= sinωx.

Montrer que {ǫ1, ǫ2} est une partie libre de .

3. Montrer que, quel que soit l’élément f de F , il existe deux fonctions numé- riques u et v de la variable x, dérivables sur telles que pour tout x réel :

{

f (x) = u(x)ǫ1+ v(x)ǫ2(x) f ′(x) = u(x)ǫ′1+ v(x)ǫ

′ 2(x).

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

4. Montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que f soit élément de est que pour tout x réel

u′(x)= v ′(x)= 0.

En déduire que (ǫ1, ǫ2) est une base de .

5. Résoudre dans F l’équation f + 9 f ′′ = 0. Montrer qu’il existe une solution unique telle que

f (0)= 3 et f ′(0)=

p 2

2 .

6. Montrer que, quel que soit l’entier naturel n non nul, tout élément f de est n fois dérivable sur R.

Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour tout x réel

f (n)(x)=ωn f (

x +

2ω

)

.

f (0) = f et pour tout entier naturel n non nul f (n) est la fonction dérivée d’ordre n de f .

Partie B

Dans la suite du problème on donne à ω là valeur 1. On appelle e1, e2, uk les fonctions numériques de la variable réelle x définies par

e1(x)= cosx, e2(x)= sinx, uk(x) = k,

k est un réel strictement positif. On considère l’espace vectoriel H engendré par e1, e2, uk .

1. Montrer que Bk = (e1, e2, uk ) est une base de H et que E1 est un sous-espace vectoriel de H dont on donnera une équation dans la base Bk .

En déduire que tout élément g de H s’écrit de façon unique, g = f +a f est un élément de E1 et a une fonction constante.

2. Montrer que l’on peut définir une application Φ de H × H dans R, qui à tout élément

(

g1, g2 )

de H ×H associe

Φ (

g1, g2 )

= 1

π

02π g1(t) · g2(t)dt .

ExprimerΦ (

g1, g2 )

en fonction des coordonnées (

α1 ; β1 ; γ1 )

et (

α2 ; β2 ; γ2 )

de g1 et g2 dans la base Bk .

3. Montrer que Φ est un produit scalaire.

Déterminer k pour que la base Bk soit orthonormée pour ce produit scalaire.

Partie C

On munit H de la multiplication scalaire ψ et on rapporte H à la base orthonormée B p2

2 .

1. SoitΨ l’application qui à tout élément g de H associeΨ(g )= g ′′.

Montrer queΨ est un endomorphisme de H.

On note I l’application identique dans H.

Montrer queΨ est la composée de l’application (−I) et d’une application que l’on caractérisera.

Antilles-Guyane 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. Pour tout entier naturel n, on considère l’application ϕn de H vers F, qui à tout élément g de H tel que g = f +a associe la fonction

ϕn(g )= (−1) n+1[ f (n)+a].

a. Montrer que ϕn est un endomorphisme de H et que

ϕn+4 =ϕn .

b. En déduire, suivant l’entier n, l’expression analytique deϕn dans la base B p2

2 .

c. Déterminer suivant les valeurs de n, la nature de ϕn et préciser, dans chacun des cas, ses éléments remarquables.

d. Soit Θn la restriction de ϕn au plan vectoriel E1. Montrer que l’ensemble {Θ0, Θ1, Θ2, Θ3} muni de la loi ◦ de composition des applications est un groupe commutatif.

Antilles-Guyane 3 juin 1981

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