Exercitation de géométrie 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 8 sur l'intégration par parties. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre des solutions du système.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1981 Antilles–Guyane \

EXERCICE 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= 2x

1+ x −Log (1+ x).

1. Étudier f et la représenter graphiquement dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet deux solutions dont l’une est un réel strictement positif dont on déterminera la partie entière.

3. Calculer Φ(λ) = ∫λ

0 f (x) dx λ est un réel strictement supérieur à −1 (on

pourra utiliser une intégration par parties).

EXERCICE 2

Dans l’anneau Z/6Z, on considère le système de deux équations à deux inconnues x et y

{

x+3y = 1 3xy = m

m est un élément de Z/6Z.

1. Résoudre le système dans le cas oùm = 1.

2. Discuter suivant les valeurs dem le nombre des solutions du système.

PROBLÈME

Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct R = (

O, −→

ı , −→

)

. Soit P le plan vectoriel euclidien associé.

Partie A

À tout point M de P de coordonnées (x ; y) dans R, on associe son affixe z z = x+ iy .

1. Soient g et h les applications de P dans P qui, à tout point M d’affixe z, asso- cient respectivement les points M ′ d’affixe z ′ eM ′′ d’affixe z ′′ définies par

z ′ = 3iz+1, et z ′′ = (i−3)z− i.

Donner la nature et les éléments géométriques des applications g et h.

2. Soit f l’application de P dans P qui, à tout point M d’affixe z associe le point N d’affixe Z = X + iY définie par : Z = z ′+ z ′′.

Calculer X et Y en fonction de x et y .

Montrer que f est une symétrie dont on précisera les éléments géométriques.

Terminale C A. P. M. E. P.

3. Soit H l’ensemble des points du plan P dont les deux coordonnées vérifient

l’équation : x2− y2

2 = 1.

Préciser la nature et les éléments remarquables de H .

Déterminer une équation de l’ensemble H ′, image de H par f . Construire H et H ′.

Partie B

On note Φ l’endomorphisme associé à f , L (

−→

P )

l’ensemble des endomorphismes

de −→

P et I l’application identique de P.

1. Soit p l’élément de L (

−→

P )

défini par : p = 1

2 (I−Φ).

Montrer que p est une projection vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques.

2. À tout réel non nul t , on associe l’élément Φt , deL (

−→

P )

défini parΦt = 1+t .p.

Pour quelle valeur t0 de t l’endomorphisme Φt est-il involutif ? ComparerΦ et Φt0 .

Pour quelles valeurs de t l’endomorphisme Φt est-il bijectif ?

Calculer alors la matrice inverse de la matrice deΦt .

Partie C

Soit E un espace vectoriel sur R, L (E) l’ensemble des endomorphismes de E et I l’application identique de E. Soit p une projection de E différente de l’application nulle, et Φt l’élément de L (E) défini pour tout réel t par : Φt = I+ t .p.

1. Déterminer l’ensemble des valeurs de t pour que Φt soit involutif.

2. Montrer que Φ−1 n’est pas une bijection.

3. Soit T l’ensemble des endomorphismes Φt lorsque t est un réel différent de −1.

Montrer que T est un groupe commutatif pour la loi ◦ de composition des applications.

La partie C du problème peut être traitée indépendamment des parties A et D.

Antilles–Guyane 2 septembre 1981

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