Exercitation de géométrie 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 9 sur le barycentre des points pondérés. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la valeur du réel positif, la suite, le tableau de variations.
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[ Baccalauréat C Besançon, Lyon juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

On désigne par S l’ensemble des solutions dans Z2 de l’équation (1)

138x −55y = 5.

1. Montrer que si (

x0 ; y0 )

est élément de S alors x0 ≡ 0 (5).

2. Résoudre l’équation (1).

3. (

x0 ; y0 )

étant un élément de S, quelles sont les valeurs possibles du plus grand diviseur commun des deux termes du couple. Déterminer l’ensemble des élé- ments de S dont les termes sont premiers entre eux.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans un plan affine euclidien P , on considère un triangle ABC, rectangle en A, tel que AC = 2AB = 2d (d réel strictement positif donné).

1. a. Construire le point G1, barycentre des points pondérés (A, 1) (B, 2) (C, 1).

b. Construire le point G2, barycentre des points pondérés (A, 5) (B, 2)

(C, −3).

c. Calculer G1G2 en fonction de d .

2. a. Déterminer suivant la valeur du paramètre réel k la nature de l’ensemble

Ek = {

M ∈P /MA2+2MB2+MC2 = 4k }

b. Construire E 3 2 d

2 .

3. Étudier suivant la valeur du réel positif a la nature de l’ensemble

Ca = {M ∈P /MG1+MG2 = 2a} .

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On désigne par I l’intervalle ouvert ]−1 ; 1[.

1. a. Vérifier que pour s ∈ I et t ∈ I

1+ st 6= 0.

Pour toute la suite on pose

s t = s + t

1+ st pour s ∈ I et t ∈ I.

b. Soit s ∈ fixé ; étudier les variations de la fonction Ts : t 7−→ s t sur I. En déduire que la loi ⋆ est interne dans I.

c. Montrer que I muni de la loi ⋆ est un groupe commutatif.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. Donner le tableau de variations de la fonction G de R eh - 1 dans R qui à x associe

G(x)= e2x −1

e2x +1 .

b. On pose g (x)= x G(x) pour x ∈ R+ ; calculer g (0) et déterminer le sens de variation de g ; en déduire que G(x)6 x pour x ∈R+.

c. Démontrer que G est un isomorphisme de (R, +) sur (I,⋆).

3. On note H : I→R l’application réciproque deG. Pour a ∈R, on définit sur R la fonction Fa par Fa(x)= ax et on considère la fonction fa =G Fa H de I vers I. On ne cherchera pas à calculer H et fa dans cette question.

a. Montrer que pour a > 0, fa est croissante sur I. Soit a et b deux réels fixés.

b. Démontrer que pour tout t ∈ I, on a

fa+b(t)= fa (t)⋆ fb(t).

c. On suppose que a 6 b et t ∈ [0 ; 1[. En utilisant 2. a.montrer que H(t)> 0 et en déduire que fa (t)6 fb(t).

Partie B

À tout réel a > 0 on associe l’application ϕa : [0 ; 1]→R définie par

ϕa(t) = (1+ t)a − (1− t)a

(1+ t)a + (1− t)a sia > 0

ϕa(0) = 0.

1. a. Montrer que chaque fonctionϕa est continue sur l’intervalle [0 ; 1]. Quelle est la valeur de ϕa(1) ?

b. Démontrer que H(t)= 1

2 Log

1+ t

1− t pour tout t ∈ I.

En déduire que pour tout a > 0 et tout t ∈ [0 ; 1[ on a fa (t)=ϕa(t).

2. Pour tout a ∈R+ on pose

J (a)= ∫1

0 ϕa(t)dt .

Calculer J (0) ; J (1) ; J (2).

Montrer, en utilisant la question B 1. b. que la fonction J : a 7−→ J (a) est crois- sante sur R+. Quel est le signe de J (a) pour a > 0 ?

3. On suppose dans cette question que 0< a < 1.

a. Montrer que

si t ∈ [0 ; 1−a] alors ϕa(t)6 fa (1−a), si t ∈]1−a ; 1] alors ϕa(t)6 1

b. En déduire, ainsi que de A 2. b., l’inégalité

J (a)6 a

2 Log

2−a

a +a.

c. En déduire que J est continue à droite en 0.

4. a. Démontrer, à l’aide de A 3. b., que pour a > 0 et b > 0 on a

ϕa+b(t)6ϕa(t)+ϕb(t) pour tout t ∈ [0 ; 1].

En déduire que J (a +b)6 J (a)+ J (b).

b. Montrer que la fonction J est continue à droite en tout point a > 0.

Besançon, Lyon 2 juin 1981

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