Exercitation de mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercitation de mathématique sur le nombre réel strictement positif. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien du nombre réel t, la fonction numérique de la variable réelle x.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Soit x un nombre réel strictement positif. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale

I (x)= ∫ 1p

x

1

2tLog t

(1+ t2)2 dt

où Log t représente le logarithme népérien du nombre réel t . (On remarquera que, pour tout nombre réel t non nul,

1

t (

1+ t2 ) =

1

t

t

1+ t2 .

2. Soit I la fonction numérique de la variable réelle x définie par

I : x 7−→ I (x), pour x strictement positif.

Cette fonction admet·elle une limite lorsque x tend vers 0 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division par 7 de 2n ,puis de 102n .

Vérifier que le nombre qui s’écrit 787878 en base dix est divisible par 7.

2. Soit b et c deux entiers naturels qui satisfont aux conditions suivantes :

0< b 6 9 et 06 c 6 9

Pour chaque entier naturel non nul n, on considère le nombre a(n) qui s’écrit bcbc · · ·bc en base dix, b et c étant répétés chacun n fois. Déterminer, suivant les valeurs des entiers b et c, l’ensemble des entiers n tels que a(n) soit divisible par 7.

PROBLÈME 13 POINTS

Les parties A et B sont indépendantes, A étant un exemple illustrant B.

Partie A

On rappelle que l’ensemble F des fonctions numériques d’une variable réelle défi- nies sur R, muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel sur R. On note f1 et f2 les éléments de F définis respectivement par

f1(x)= (1+ x)ex , f2(x)= (1− x)ex

où e désigne la base des logarithmes népériens. Soit E le sous-espace vectoriel de F engendré par la partie

(

f1 ; f2 )

?

1. Vérifier que (

f1 ; f2 )

est une base de E.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. Soit f un élément de E. Démontrer que sa fonction dérivée f ′ est élément de E. Soit ϕ l’application de E dans E qui, à tout élément de E, associe sa fonction dérivée première.

Établir que ϕ est une application linéaire de E dans lui-même (ou endomor- phisme de E).

3. Démontrer que l’ensemble des vecteurs de E invariants par ϕ est une droite vectorielle D dont on donnera une base.

4. Démontrer que, pour tout élément f de E, ϕ( f )− f est élément de D.

Partie B

Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et D une droite vectorielle donnée de E. On considère l’ensemble G des endomorphismes g de E qui possèdent les deux propriétés suivantes :

(1) (∀ −→ u D) (g

(−→ u

)

− −→ u =

−→ 0 )

(2) (∀ −→ u ∈E) (g

(−→ u

)

− −→ u D)

1. Prouver que le noyau de tout élément g de G est inclus dans D. En déduire que tout élément de G est bijectif.

2. Soit −→ j un vecteur donné de D, non nul.

a. Soit g un élément donné de G .

Démontrer que pour tout vecteur −→ u de E, on peut trouver un nombre

réel x et un seul tel que

g (−→

u )

= −→ u + x

−→ j .

On définit ainsi l’application θ de E dans R par

θ : −→ u 7−→ θ

(−→ u

)

= x.

Démontrer que θ est une application linéaire ; en déterminer le noyau.

b. Inversement, soit θ une application linéaire de E dans R, de noyau D ou E. Soit g l’application de E dans E définie par

g (−→

u )

= −→ u +θ

(−→ u

)−→ j .

g est-elle élément de G ?

3. Prouver qu’il existe au moins une base de E dans laquelle la matrice de tout

élément de g soit de la forme

(

1 0 b 1

)

, b étant un nombre réel.

Soit B une telle base.

4. Démontrer que (G , ◦) est un sous-groupe du groupe des endomorphismes bi- jectifs de E, ◦ désignant la loi de composition des applications.

5. Pour tout réel m, on note ∆m la droite vectorielle dont une équation dans la base B est y mx = 0 et sm la symétrie par rapport à ∆m , de direction D. Soit m un réel donné ; démontrer que, quel que soit l’élément g deG , on peut trouver un réel m′ tel que

g = sm′ ◦ sm .

Dijon 2 juin 1978

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