Exercitation de mathématique 10, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur le repère orthonormé direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe (C) d’équation, la distance d(M, M0) des deux points.
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[ Baccalauréat C Lyon \ septembre 1978

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans Z×Z l’équation

x−9y = 13

2. Déterminer tous les éléments (a ; b) deN2 qui vérifient la relation suivante :

PPCM(a,b)−9PGCD(a,b)= 13.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

on

considère la courbe (C ) d’équation

3x2+4y2+6x−9= 0.

1. Déterminer la nature de (C ) et préciser tous ses éléments remarquables. Tra- cer la courbe (C ).

2. Soit M un point de (C ) d’affixe z = x+ iy .

On pose |z| = ρ et Arg z = θ ( mod 2π). Calculer ρ en fonction de θ ?

3. Soient M etM ′ deux points de (C ) dont les affixes ont pour arguments respec- tifs θ et θ+π.

Calculer la distance d(M , M ′) de ces deux points.

PROBLÈME 13 POINTS

Ondésignepar P unplan vectoriel euclidien rapporté à unebase orthonormée (

−→ ı ,

−→

)

.

On note F l’espace vectoriel des fonctions numériques définies et dérivables sur R et on désigne par FP l’espace vectoriel des fonctions définies sur R et à valeurs dans P. Pour tout couple (α ; β) de nombres réels, on note par ϕ(α ; β) l’endomorphisme de

P dematrice

(

α+β β

2α 3β

)

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. a. Montrer que l’endomorphisme ϕ(α ; β) est bijectif si et seulement si le nombre réel β(α+3β) n’est pas nul.

b. Existe-t-il des couples (α ; β) tels que ϕ(α ; β) soit un endomorphisme orthogonal ?

2. Pour tout nombre réel λ 6= 0 on désigne par l’ensemble des vecteurs −→ u de

P vérifiant la relation

ϕ(−1 ; 1)

(

−→ u

)

=λ −→ u .

a. Montrer que l’ensemble n’est jamais vide et que c’est un sous-espace vectoriel de P.

b. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles on a 6= { −→ 0 }.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

c. Établir que E1 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur −→ I =

−→ ı +

−→ et que E2 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur

−→ J =

−→ ı +2

−→ .

3. Montrer que le couple (

−→ I ,

−→ J

)

est une base de l’espace vectoriel P.

4. Soit −→ V un vecteur de P, on désigne par (x ; y) ses coordonnées dans la base

(

−→ ı ,

−→

)

et par (X ; Y ) ses coordonnées dans la base (

−→ I ,

−→ J

)

. Exprimer X et Y

en fonction de x et y .

5. Quelle est la matrice de ϕ(−1 ; 1) dans la base (

−→ I ,

−→ J

)

?

Partie B

Pour toute fonction f de F on désigne par f ′ la fonction dérivée de f et lorsque f

est dérivable par f ′′ la fonction dérivée seconde de f . On notera par (J l’application nulle sur R.

1. Soit α un nombre réel ; on considère l’ensemble des éléments f de F véri- fiant l’équation

f ′−α f = θ.

a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de F .

b. Soit f un élément de l’espace F ; établir que la fonction f appartient à l’espace si et seulement si la fonction numérique g définie en tout point x ∈ R par g (x) = f (x)e−αx (e représentant la base des logarithmes népériens) vérifie la relation g ′ = θ ?

c. En déduire que l’espace coïncide avec la droite vectorielle engendrée par le vecteur x 7−→ eαx .

2. À tout élément f de F , on associe l’élément −→ f de F défini par :

x ∈R −→ f (x)= f (x)

−→ ı + f ′(x)

−→ .

Dans toute la suite du problème on suppose que f est deux fois dérivable sur R.

a. Montrer que −→ f est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée

−→ f ′ .

b. Soient f1 et f2 les fonctions composantes dans la base (

−→ I ,

−→ J

)

de la fonc-

tion vectorielle −→ f ; montrer que l’on a f1 = 2 f f ′, f2 = f ′− f et en dé-

duire les composantes de −→ f ′ dans la base

(

−→ I ,

−→ J

)

.

3. Soit G l’ensemble des fonctions numériques définies sur R, deux fois déri- vables et vérifiant la relation

f ′′−3 f ′+2 f = 8.

a. Montrer queG est un sous-espace vectoriel de F .

b. Etablir que f est un élément deG si et seulement si on −→ f ′ =ϕ(−1 ; 1) ◦

−→ f .

c. En déduire que f appartient à G si et seulement si la condition suivante est satisfaite :

x ∈R,

(

f ′1(x) f ′2(x)

)

=

(

1 0 0 2

)(

f1(x) f2(x)

)

4. Montrer que l’espace vectorielG est engendré par les vecteurs x 7−→ ex et

x 7−→ e2x .

5. Déterminer une base de l’espace vectorielG.

Lille 2 septembre 1978

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