Exercitation de mathématique 11, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur les entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le mouvement de chaquee point, le vecteur vitesse.
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[ Baccalauréat C Maroc–Tunisie juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer l’ensemble A (A ⊂Z) des entiers relatifsm tels quem2+m+1 soit divisible par 13.

(On conseille de résoudre au préalable dans Z/13Z l’équation u2+u+1= 0).

2. Déterminer l’ensemble B (B ⊂ Z) des entiers relatifs n tels que n2+n+1 soit divisible par 169.

EXERCICE 2 4 POINTS

La lettre t désigne le temps. Dans un plan euclidien rapporté au repère cartésien or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

les pointsmobilesM1 etM2 sont définis par leurs coordonnées

à l’instant t :

M1

x1(t) = cos t y1(t) = t − sin t

M2

x2(t) = 1− t2

4

y2(t) = t t2

4

Le mouvement de chaquee point commence à l’instant t = 0, et on considère qu’il

cesse quand le point atteint l’axe (

O, −→ ı

)

.

1. Donner les durées des deux mouvements.

Déterminer les vecteurs vitesses −→ V1 de M1 (resp.

−→ V2 de M2) à l’instant t de

leurs déroulements respectifs.

2. Établir une relation indépendante du temps entre l’abscisse du mobile M1 et le carré de la vitesse. Même question pour M2.

3. Montrer que les deux mouvements satisfont, à chaque instant de leur dérou- lement respectif, la relation :

−→ V ·

(

−→ Γ +

−→ ı

)

= 0,

où −→ V désigne le vecteur vitesse et

−→ Γ le vecteur accélération.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Un plan affine euclidien Π est rapporté au repère cartésien orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par ∆ la droite d’équation y =−1. Soit Π⋆ l’ensemble des points de Π dont aucune coordonnée n’est nulle, et T la transformation deΠ⋆ ainsi définie : SiM a pour coordonnées (x ; y), µ= T (M) a pour coordonnées

( y

x ; y)

)

.

1. Vérifier que T est involutive, et que si M et µ sont associés par T , −−→ Oµ et

−−→ ON

sont orthogonaux, N désignant la projection orthogonale de M sur ∆.

2. Soit J un intervalle de R ne contenant pas zéro,ϕ une bijection involutive de

J , et (γ) l’arc de courbe admettant relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

l’équa-

tion y = (x), x ∈J .

Démontrer que (γ) est globalement invariant par T .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. Exemple :

a. Étudier les variations de la fonction numérique :

x 7−→ h(x)= x

3− x2

1+ x2 .

b. Préciser l’intervalle J , la bijection ϕ s’explicitant ici par

x 7−→

3− x2

1+ x2 .

c. Tracer avec soin l’arc (γ) correspondant.

Partie B

On s’intéresse désormais à la courbe C du plan Π qui admet relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

l’équation : y = 2x2

1+ x2 .

On pose C⋆ =C − {O}.

1. Montrer que la transformée deC⋆ par T est incluse dans un cercle.

Sur une même figure, tracer ce cercle et construireC .

On pourra, en cas de besoin, s’aider des variations de la fonction :

g : x 7−→ 2x2

1+ x2 .

2. On joint le point M de C d’abscisse x au point M ′ de C d’abscisse x′ (x′ 6= x). Former le coefficient directeur de la droiteMM ′ et celui de la tangente enM à C . Montrer que M ′ est sur la tangente en M si et seulement si on a la relation :

x′+ x2−1

2x x = 0.

On se propose demanipuler, dans la suite, les couples (

x ; x′ )

de cette relation (y compris, abusivement, ceux pour lesquels x = x′) en les « paramétrant » : x = cotgu, x′ = cotg v .

3. Soit l’intervalle réel J =]0 ; π[.

a. Montrer que la relation

cotg v +cotg2u = 0

où (u ; v) ∈ J × J , définit une fonction f1 : u 7−→ v = f1(u) de J dans lui·même ; cette fonction est affine parmorceaux ; préciser son ensemble de définition et tracer sa représentation graphique.

b. On pose f2 = f1 ◦ f1, f3 = f1 ◦ f1 ◦ f1 , etc. (où le symbole ◦ désigne la composition des fonctions) ; préciser les ensembles de définition de f2, de f3 et tracer séparément leurs représentations graphiques.

Établir que, si t est un réel non entier de l’intervalle ]0 ; 4[ et E(t) la partie entière de ce réel, on a :

f2

(

πt

4

)

=π · [t −E(t)].

Maroc–Tunisie 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

c. Pour cette dernière question on admet que tout réel de l’intervalle ]0 ; 1[ peut être représenté, en base quatre, par un développement

0, a1, a2, · · · , ai , · · ·

(

a1 · 1

4 +a2 ·

1

42 +·· ·

)

où chaque chiffre ai est élément de l’ensemble {0, 1, 2, 3}.

Soit p un entier naturel fixé, et F la famillee des intervalles

]

k π

4p ; (k+1)

π

4p

[

, k entier, 06 k 6 4p .

À partir d’un réel α J , on forme la suite (lorsqu’elle existe) n 7−→ αn dont les termes sont :

α1 = f1(α), a2 = f1 (α1)= f2(α), · · · ,αn = f1 (αn−1) , · · ·

Peut-on choisirαpour que cette suite ait un termeaumoins dans chaque intervalle de F ?

Maroc–Tunisie 3 juin 1978

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