Exercitation de mathématique 14, Exercices de Mathématiques Appliqués

Exercitation de mathématique 14, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur l'espace vectoriel réel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’endomorphisme de E, Déterminer les vecteurs de E.
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[ Baccalauréat C Nancy-Metz juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Trouver suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division de 3n

par 11.

2. En utilisant les résultats de la première question, déterminer suivant les va- leurs des entiers naturels k et m, les restes de la division par 11 des deux

nombres

A = 1978k ;

B = 4215m +4214m +4213m +4212m +421m

EXERCICE 2 4 POINTS

Une urne contient N boules numérotées de 1 à N (N > 1).

On effectue dans cette urnedeux tirages auhasard avec remise (le numérode chaque

boule tirée est noté et la boule est remise dans l’urne).

On considère les variables aléatoires : X1 prenant pour valeur le numéro de la boule

tirée en premier, et X2 prenant pour valeur le numéro de la boule tirée en second.

1. Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables X1 et X2. Calculer l’espérance mathématique de X1 et de X2.

2. On suppose désormais que N = 5.

a. Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition F de X.

b. On considère la variable aléatoire Y = X1 + X2. Quelle est la loi de pro- babilité de Y ? Calculer l’espérance mathématique de Y ainsi que sa va-

riance.

c. Calculer la probabilité de l’événement {2< Y < 10} et comparer le résul- tat avec un minorant de cette probabilité obtenu en utilisant l’inégalité

de Bienaymé-Tchebycheff.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit E un espace vectoriel réel de dimension 3 rapporté à une base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On

note θ l’endomorphisme nul et I l’application identique de E.

Si σ est un endomorphisme de E, on définit, pour tout entier naturel n, σn par :

σ0 = 1

n ∈N σn+1 =σσn

Soit ϕ l’endomorphisme de E défini par

ϕ (

−→ ı )

= − −→ ı

ϕ (

−→ )

= −→ ı

−→

ϕ (

−→ k )

= 2 −→

−→ k

1. On pose ψ = ϕ+ I. Déterminer les images par ψ, ψ2 et ψ3 des vecteurs −→ ı ,

−→

et −→ k . En déduire l’expression de ϕ, ϕ2 puis ϕ3 pour tout entier naturel n, en

fonction de I etψ.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. En déduire que ϕ vérifie la relation

ϕ3+3ϕ2+3ϕ+ I= θ.

Montrer alors que ϕ est bijectif et exprimer ϕ−1 en fonction de ϕ et de I.

3. Déterminer les vecteurs de E qui sont transformés par ϕ en leur opposé.

Partie B

Dans l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R, on considère le

sous-espace vectoriel E engendré par les fonctions f 1, f2, f3 définies par :

x ∈R

f1(x) = e −x

f2(x) = xe −x

f3(x) = x 2e−x

1. Montrer que (

f 1, f2, f3 )

est une base de E .

a. Montrer que la dérivée de tout élément de E est élément de E .

b. On note d l’application de E dans E qui à f associe sa dérivée f ′.

Montrer que d est un endomorphisme de E et déterminer d (

f1 )

, d (

f2 )

,

d (

f3 )

.

c. Quelles sont les fonctions f de E qui vérifient f ′+ f = 0 ?

2. On note F l’ensemble des fonctions f de E vérifiant f (−1) = 0. Montrer que F est un plan vectoriel de E que l’on déterminera.

3. Soit G l’ensemble des fonctions f de E dont la courbe représentative (C) dans

un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

est tangente à la droite (

O, −→ u )

aupoint d’abs-

cisse −1. Vérifier que G est une droite vectorielle de E , dont on donnera un

vecteur directeur.

Partie C

Soit f la fonction définie par :

x ∈R, f (x)= (x+1)2e−x .

1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un re- père orthonormé.

2. Calculer une primitive de f .

3. Soit α un nombre réel, strictement plus grand que −1. Calculer l’aire Aα du domaine limite par la courbe (C) et les droites d’équation y = 0, x =−1, x =α.

Montrer que, quand α tend vers l’infini, Aα admet une limite que l’on déter-

minera.

Nancy-Metz 2 juin 1978

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