Exercitation de mathématique 15, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur l’équation d’inconnue x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de C dans C, l'espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Résoudre dans Z l’équation suivante d’inconnue x :

3x2+4x ≡ 0 [modulo 21].

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f l’application de C dans C définie par :

f (z)= z3+az2+bz−42+24i.

a et b sont des éléments de C.

1. Déterminer a et b sachant que :

{

f (1) = −44+32i f (−1) = −30+16i.

2. On suppose, dans cette question, que : a = 5 et b =−8+8i.

Démontrer qu’il existe un réel r , et un seul, tel que f (r )= 0 et résoudre dans C alors l’équation (E) d’inconnue z :

f (z)= 0. (E)

On appelle z1, z2 et z3 les solutions de (E) ; on note Z le complexe

z1z2+ z2z3+ z3z1.

Calculer Z . Déterminer le module et un argument de Z .

PROBLÈME 4 POINTS

La partie C du problème est indépendante des parties A et B

Partie A

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois dont une base ortho-

normée directe est B = (

−→

ı , −→

, −→

k )

.

1. Soit ϕ l’endomorphisme de E (application linéaire de E dans E ) défini par

ϕ (

−→

ı )

=

−→

k

ϕ (

−→

)

= −

−→

ϕ (

−→

k )

=

−→

ı

Démontrer que ϕ est une isométrie vectorielle involutive de E .

Déterminer ϕ( −→

ı + −→

k ) et ϕ( −→

ı − −→

k ).

Caractériser ϕ.

2. Soit Ψ le demi-tour vectoriel de E (symétrie vectorielle orthogonale par rap-

port à une droite vectorielle) dont l’axe est la droite vectorielle de base (

−→

ı )

.

On désigne par θ l’endomorphisme ϕ◦Ψ de E .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

a. Déterminer θ (

−→

ı )

, θ (

−→

)

et θ (

−→

k )

.

b. Démontrer que θ est une rotation vectorielle dont l’axe D est la droite

vectorielle de base (

−→

)

.

On désigne par P le plan vectoriel orthogonal à D. Dans la suite du pro-

blème le planP sera orienté : (

−→

k , −→

ı )

est une base orthonormée directe ;

la droite vectorielle D est alors orientée : (

−→

)

est une base directe.

Donner unemesure de l’angle de la rotation vectorielle θ d’axeD orienté.

Partie B

Soit E un espace affine euclidien associé à E ; il est rapporté au repère orthonormé

R =

(

O, −→

ı , −→

, −→

k )

.

1. Soit f l’application affine de E vers E qui est associée à l’endomorphisme ϕ et qui transforme le point O en le point A de coordonnées (2 ; 0 ; 2).

a. Définir analytiquement f .

b. Démontrer que f est un vissage et que f est la composée, dans un ordre indifférent, d’un demi-tour affine (un demi-tour affine est également ap- pelé un retournement) et d’une translation t ; préciser l’axe dudemi-tour affine et le vecteur de la translation.

2. Soit g l’application affine de E vers E qui est associée à l’endomorphisme ψ et qui laisse le point O invariant.

Caractériser g .

3. Soit h l’application affine de E vers E définie par h = f g .

a. Démontrer que h = t r , où t désigne la translation définie au B 1. b. et r une rotation affine, dont on précisera l’axe (D).

b. On désigne par (P) le plan affine qui contient O et dont la direction est le plan vectoriel P précédemment défini.

Démontrer que (P) est globalement invariant par h.

c. On note h′ la restriction de h à (P).

Définir analytiquement h′, (P) étant rapporté au repère (

O ; −→

k , −→

ı )

.

Démontrer que h′ est une rotation affine, dont on précisera le centre I et une mesure de l’angle.

d. Démontrer que h est une rotation affine, dont on précisera l’axe (D′).

La direction de (D′) est orientée par le choix de la base directe (

−→

)

: don-

ner une mesure de l’angle de la rotation h.

4. On conserve l’orientation de la droite affine (D′).

Soit alorsW le vissage dont l’axe est (D′), dont l’angle admet pour mesure α,

dont le vecteur est −α −→

.

À un point M quelconque, de coordonnées (x ; y ; z), W associe le point

M ′ =W (M) de coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

.

Établir que l’on a

x′ = x cosα+ z sinα−2sinα, y ′ = y α, z ′ = −x sinα+ z cosα−2cosα+2.

Partie C

Nantes 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Soit u l’application de R⋆ + dans R définie par

u : t 7−→ u(t)= et +Log t .

Démontrer que u est une bijection de R⋆ + sur R.

2. Soit v l’application de R⋆ + dans R définie par

v : t 7−→ v(t)= t2et −1.

Étudier les variations de la fonction v .

3. u′′ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction u. Démontrer que, dans

R ⋆ + , l’équation u′′(t)= 0 admet une solution unique t0 et que l’on a

1

2 < t0 < 1.

Étudier le signe de u′′(t) sur R⋆ + .

Partie D

Dans l’espace affine euclidien E, on considère le point mobile N dont les coordon- nées, dans le repèreR, sont à l’instant t

(

t ∈R⋆ +

)

:

x = cosu(t), y = u(t), z = 2+ sinu(t).

On désigne par (C ) la trajectoire de N .

1. Démontrer que la projection orthogonale de (C) sur le plan (P) défini au B. 3. b. est un cercle, que l’on précisera.

2. Quelles sont les coordonnées, à l’instant t , du pointW (N ) ? En déduire que, à tout instant t

(

t ∈R⋆ +

)

,W (N ) est un point de (C).

3. Déterminer le vecteur vitesse −−−→

V (t) et le vecteur accélération −−−→

Γ(t) du point mobile N à l’instant t .

4. Étudier le sens de variation de la fonction numérique qui, au réel strictement

positif, t associe ∥

−−−→

V (t) ∥

∥.

Nantes 3 juin 1978

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