Exercitation de mathématique 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur l’ensemble des entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des triplets de la forme, le « Logarithme népérien ».
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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

N désigne l’ensemble des entiers naturels et Z l’ensemble des entiers relatifs.

1. Soit p un entier naturel. Montrer qu’un seul des entiers p, p + 10, p + 20 est multiple de 3.

En déduire tous les triplets (a, b, c) de N3 tels que a, b, c soient tous premiers et soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 10.

2. Soit E = {(u, v, w) ∈Z3/3u+13v +23w = 0}. a. Montrer, pour (v,w) élément deZ2, l’équivalence des deux propositions

suivantes :

{13v +23w = 0 ( mod 3)} et/quad{v =w ( mod 3)}

b. En déduire que E est l’ensemble des triplets de la forme :

(

−13k−23k ′ −12r, 3k+ r, 3k ′+ r )

où (k, k ′, r ) prend toute valeur dans Z×Z× {0, 1, 2}.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

f (x)= x2 √

∣Logx

(Log désigne « Logarithme népérien »).

1. a. Quel est l’ensemble de définition, D, de f ?

b. Étudier si f a une limite pour x positif et tendant vers 0.

2. Soit g la fonction numérique telle que :

pour x D, f (x)= g (x) et g (0)= 0.

a. Montrer que g est dérivable, à droite, en 0 et préciser le nombre dérivé.

b. Déterminer lim x→1

Log x

x−1 ; étudier, ensuite, la dérivabilité de g en 1.

3. Etudier le sens de variation de g . Tracer la courbeC , représentative de g , dans

un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Préciser les tangentes àC aux points d’abs-

cisses 0 et 1, s’il y a lieu.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit E un plan affine euclidien orienté ; on considère trois points A, B et C non alignés de ce plan. Soit k un réel non nul ; on définit les suites de points (An)n∈N , (Bn )n∈N , (Cn)n∈N par :

A0 =A, B0 =B, C0 =C, et∀n ∈N, −−−−−−→AnAn+1 = k

−−−−→ AnBn ,

−−−−−−→ BnBn+1 = k

−−−−→ BnCn ,

−−−−−−→ CnCn+1 = k

−−−−→ CnAn

On appelle isobarycentre des points A, B et C, le barycentre du système ((A, 1), (B, 1), (C, 1)).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie A

1. Montrer que A1, B1 et C1 ont le même isobarycentre G que A, B et C.

Montrer que, pour tout entier n, l’isobarycentre de An , Bn et Cn est le même point G.

2. Soit f l’application affine de E dans E telle que f (A) = Al ′1, f (B) = B1 et f (C) =C1. Montrer que :

n ∈N, f (An)= An+1, f (Bn )=Bn+1, et f (Cn )=Cn+1.

Partie B

On choisit dans E, un repère orthonormé direct d’origine G. A chaque point M de E on associe son affixe dans l’ensemble C des nombres complexes. On considère les points I, J, K d’affixes respectives i, j , j2 où

j=− 1

2 + i

p 3

2 .

On définit les suites de points (In )n∈N , (Jn)n∈N , (Kn)n∈N

I0 = I, J0 = J, K0 =K, et∀n ∈N, −−−−−→In In+1 = k

−−−→ In Jn ,

−−−−−→ Jn Jn+1 = k

−−−−→ JnKn ,

−−−−−−→ KnKn+1 = k

−−−→ Kn In

On note αn , βn , γn les affixes respectives des points In , Jn et Kn .

1. a. Calculer α1 en fonction de k et j , puis β1 et γ1 en fonction de α1 et j.

b. Quelle est la nature de l’application affine ϕ de E dans E définie par

ϕ (I0)= I1, ϕ (J0)= J1, et ϕ (K0)=K1?

Faire une figure en prenant k = 3

4 .

c. Montrer que αn = (α1)n pour tout entier n. Calculer βn et γn . 2. Soit t l’application affine de E dans E telle que t(I) = A, t(J) = B et t(K) = C, A,

B et C étant les points donnés au début du texte.

a. Montrer que :

n ∈N, t (In )= An , t (Jn)=Bn , t (Kn)=Cn .

b. Soit a, b, c les affixes respectives de A, B, C et an , bn , cn les affixes respec- tives de An , Bn , Cn .

On rappelle que l’isobarycentre de A, B, C est G. Quelle relation a-t-on entre a, b et c ?

Montrer qu’il existe deux nombres complexes λ et µ non nuls simultané- ment tels que la relation (1) z ′ =λz+µz associe à tout point M d’affixe z le point t(M) d’affixe z ′.

(Pour cela on pourra traduire à l’aide des complexes les relations t(I) = A, t(J) = B et t(K) = C et vérifier que la relation (1) trouvée traduit une application affine).

c. Déterminer l’affixe an du point An en fonction de λ, µ, n, k et α1.

Partie C

On suppose dans cette question que k vérifie 0< k < 1.

Grenoble 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Montrer que |α1| < 1. 2. Montrer que

lim n→+∞

|an | = 0, lim n→+∞

|bn | = 0 et lim n→+∞

|cn | = 0

Partie D

1. Que peut-on dire du triangle A, B, C et de l’application f dans chacun des cas suivants :

a. quand µ= 0, b. quand λ= 0 ?

2. On suppose maintenant que f est une similitude directe. Quel est son centre ? Montrer qu’il existe une similitude directe s de centre G telle que

s(A)=B et s (A1)=B1.

Etablir que s(B) = C et que s(C) = A . Que peut-on dire alors de s ? Quelle est la nature, dans ce cas, du triangle A, B, C ?

Grenoble 3 juin 1978

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