Exercitation de mathématique 3, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur la symétrie orthogonale d’axe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux isométries affines, l'espace vectoriel sur R.
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[ Baccalauréat C La Réunion septembre 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Déterminer deux entiers naturels a et b tels que leur plus petit commun multiple soit 120 et la somme de leurs carrés 801.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans un plan affine euclidien P , on donne un cercle (C), centré en un point O, dont un diamètre est appelé [AA′]. Autres données :

(D) tangente en A′ à (C),

P un point de (C), distinct de A et A′,

(∆) médiatrice de (A, P),

s la symétrie orthogonale d’axe (∆),

Q le point d’intersection de la droite (D) avec la tangente en P à (C),

t la translation de vecteur directeur −−→ OQ ,

M l’image de A dans la translation t : M = t(A) ,

1. Démontrer que les points A, P, M sont alignés.

2. Démontrer qu’il existe deux isométries vectorielles duplan vectorielπ, associé

à P , qui transforment −−→ QM en

−−→ OP .

En préciser la nature et les éléments,

3. Déterminer la nature et les éléments de l’application ponctuelle ϕ telle que t =ϕs.

4. Démontrer qu’il existe deux isométries affines, dont on précisera les éléments, qui transforment le bipoint (Q, M) en le bipoint (O, P).

L’une d’elles est une rotation dont le centre sera appelé I.

5. Montrer que le point I appartient à une parabole indépendante de la position du point P sur le cercle (C).

PROBLÈME 12 POINTS

R désigne le corps des réels, E l’ensemble des applications continues de R dans R. E étant muni d’une addition notée +, telle que pour tout couple ( f , g ), élément de E2 , et pour tout x réel,

( f + g )(x)= f (x)+ g (x),

et d’une multiplication par un réel notée · telle que pour tout f , élément de E, pour tout k réel, pour tout x réel,

(k · f )(x)= k f (x),

On admettra que (E , +, ·) est un espace vectoriel sur R. À toute application f , élément de E, on associe la fonction F telle que, pour tout x réel,

F (x)= ∫x+1

x−1 f (t)dt . (1)

L’objet de ce problème est de proposer l’étude de

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

– quelques propriétés des fonctions F , – quelques propriétés de l’application T qui, à f , associe F , – quelques fonctions F particulières,

N. B. Les parties B, C et D de ce problème sont totalement indépendantes les unes des autres. Le candidat les traitera dans l’ordre de son choix, Toute réponse non correctement justifiée sera considérée comme nulle.

Partie A

1. On désigne par F la fonction telle que, pour tout X réel,

F (X )= ∫X

0 f (t)dt .

Démontrer que F appartient à E et possède une dérivée continue sur R.

2. Soit la fonction νa : R→R, x 7−→ X tel que X = x+a , où a est un réel donné.

Démontrer que la fonction composée,

F ◦νa : R→ x 7−→ (F ◦νa ) (x)= ∫x+a

0 f (t)dd t ,

appartient à E et possède une dérivée continue, telle que pour tout x réel,

(F ◦νa ) ′ (x)= f (x +a).

3. En déduire que F , définie ci-dessus par (1), appartient à E et possède une dé- rivée continue, telle que, pour tout x réel,

F (x)= 1

2 [ f (x +1)− f (x −1)]

Partie B

1. Vérifier que l’application T est un endomorphisme de E. Dans la suite, on uti- lisera la notation F = T ( f ).

2. Soit G : R→ R,x 7−→ |x −1|. G appartient-elle à E ? G est-elle dérivable sur R ? Existe-t-il g , élément de E, telle que T (g )=G ? L’application T est-elle surjec- tive ?

3. Soit h : R → R, x 7−→ sinπx. Déterminer H = T (h). L’application T est-elle injective ?

4. On appelle E3 le sous-espace vectoriel de E, ensemble des fonctions poly- nômes de degré deux au plus. Montrer que E3 est stable par T . On note l’application de E3 dans E3 définie par :

: f 7−→ T ( f ).

T est-elle bijective ?

Partie C

Soit ϕ :R→R, t 7−→ |t |. ϕ appartient-elle à E ?

1. Démontrer queΦ= T (ϕ) est donnée par les formules :

Φ(x)= |x|pour |x|> 1 et Φ(x)= 1

2

(

1+ x2 )

pour |x|6 1.

En les rapportant à un même repère, représenter graphiquement ϕ et Φ.

La Réunion 2 septembre 1978

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. Démontrer que, pour tout x réel, |x|6Φ(x) et 1

2 6Φ(x), ainsi que, pour tout x

réel tel que |x|6 1, 1

2 6Φ(x)6 1.

3. En distinguant les deux cas :

|u+ v |> 1 et |u+ v |6 1,

démontrer que quels que soient u et v réels,

Φ(u)+Φ(v)>Φ(u+ v).

Partie D

1. Soit ω : R→R, t 7−→ 2

1+|t | .

ω appartient-elle à E ?

2. Dessiner la courbe représentative deω, rapportée à un repère orthonormé.

3. Démontrer queΩ= T (ω) est donnée par les formules :

Ω(x)= Log (

4− x2 )

pour |x|6 1

et

Ω(x)= Log

(

1+ 2

|x|

)

pour |x|> 1.

La Réunion 3 septembre 1978

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