Exercitation de mathématique 5, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitation de mathématique sur la classe d’équivalence. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, le plan affine euclidien P.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On désigne par la classe d’équivalence modulo 15 de l’entier a.

1. Déterminer les couples (

ȧ, ḃ )

tels que :

ȧ.ḃ = 0̇, 6= 0̇ et 6= 0̇.

2. Résoudre dans Z/15Z l’équation : x2− 6̇x+ 5̇= 0̇. 3. Résoudre dans Z/15Z×Z/15Z le système suivant :

{

3̇x+ 3̇y = 3̇ 2̇x+ y = 5̇

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien réel orienté de dimension 3, et (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une

base orthonormée directe de E. Pour tout réel θ, on appelle ϕθ l’endomorphisme de

E qui à tout vecteur −→ u de coordonnées (x ; y ; z) associe le vecteur

−→ u′ de coordon-

nées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

de la manière suivante :

x′ = x cos2θy sinθz sinθcosθ y ′ = x sinθcosθ+ y cosθz sin2θ z ′ = x sinθ+ z cosθ

1. Démontrer que ϕθ est une transformation orthogonale (ou isométrie vecto- rielle ).

2. On suppose dans cette question θ 6= , k ∈ Z ; montrer que ϕθ est une rota- tion vectorielle dont on déterminera l’axe.

PROBLÈME 13 POINTS

On désigne par C l’ensemble des nombres complexes. On note z le complexe conju- gué de z.

On considère le plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Au pointM de coordonnées (x ; y) on fait correspondre le complexe z = x+iy appelé affixe deM .

Partie A

1. Soit Fa, b l’application de P vers P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M ′ dont l’affixe z ′ est définie par z ′ = az+ ib, (a ; b) ∈R⋆×R. Établir les formules qui expriment les coordonnées

(

x′ ; y ′ )

deM ′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

a. Suivant les valeurs de a et b, rechercher les points invariants de Fa, b .

b. Si |a| 6= 1, établir que Fa, b est la composée de la symétrie orthogonale

par rapport à la droite d’équation y = b

a+1 par une homothétie dont on

cherchera le centre et le rapport.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. Soit Gc , d l’application de P vers P qui au point N d’affixe z fait correspondre le point N ′ dont l’affixe z ′ est définie par z ′ = cz+ id , (c ; d) ∈R⋆×R. Déterminer, suivant les valeurs de c et d , la nature deGc , d .

Partie B

1. Dans cette question on considère |a| 6= 1 et le point M1 d’affixe u = a+ ib. On poseM2 = Fa, b (M1) et plus généralement pour n entier strictement positif

Mn+1 = Fa, b (Mn )

a. Montrer que Mn a pour affixe un = an + ib 1− (−a)n

1+a .

b. Montrer que les points Mn , n ∈ N⋆, appartiennent à la réunion de deux

droites dont l’uneD1 passe par A

(

0 ; b

1+a

)

etM1 alors que l’autreD2 est

la transformée deD1 par Fa, b .

2. Dans cette question, on considère c 6= 1 et le point N1 d’affixe v1 = c + id . On pose N2 = Gc , d (N1) et plus généralement pour n entier strictement positif, Nn+1 =Gc , d (Nn).

a. Montrer que Nn a pour affixe :

vn = cn + id × cn −1 c−1

.

b. Montrer que les points Nn , n ∈N⋆, appartiennent à une droite∆ passant

par B

(

0 ; d

1−c

)

et N1.

3. On considère les cas particuliers c =−a et d = b avec |a| 6= 1. Montrer que ∆=D2.

Partie C

Soit Φ1 la fonction numérique définie par 1

Φ1(x)= xe 1 x −2.

1. Étudier les variations deΦ1(x) et construire sa courbe représentative (C1) dans

le plan P rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

en précisant le compor-

tement de la courbe aux bornes des intervalles de définition. En particulier, montrer que la droite d’équation y = x−1 est asymptote à (C1).

2. On considère c = 2,d = 1. Quel que soit n ∈N⋆, on note Φn+1 la fonction nu- mérique dont la courbe représentative (Cn+1) est l’image de la courbe (Cn) par G(2, 1), (Cn) représentant la fonction Φn .

Montrer que

n ∈N⋆, Φn(x)= xe 2n−1 x −2n−1−1.

3. a. Montrer que pour tout n entier strictement positif, les courbes (Cn) ont les mêmes asymptotes.

b. Soit Sn le point de (Cn) en lequel la tangente a la direction définie par−→ ı , montrer que l’ensemble de ces points, lorsque n décritN⋆ ,est inclus dans une droite passant par B(0 ; −1).

Partie D

Lille 2 juin 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Soit h1 la fonction numérique définie par :

h1(x)= x−1+ e−2 x

.

1. Construire dans le plan P la courbe H1 représentative de la fonction h1. On placera le point de coordonnées (1 ; h1(1)). On prendra 0,85 pour valeur ap- prochée de

p e−2.

2. On considère la fonction numérique hndéfinie par

hn (x)= x−1+ (4)n−1 e−2 x

, n ∈N⋆.

Soit Hn la courbe représentative de hn .

a. Montrer que, ∀n ∈N⋆, Hn+1 est l’image de Hn parG(2,1). b. Calculer l’aireAn du sous-ensemble dePdélimité par les courbes d’équa-

tion :

y = hn (x), y = x−1, x = 2n−1, x = 2n .

Quel que soit n, n ∈N⋆, établir une relation entre An et An−1.

Lille 3 juin 1978

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