Exercitation de mathématique 6, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur la suite réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite constante, les valeurs de p et a, la courbe représentative.
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère la fonction f de R dans RR, définie par :

f (x)=−x3+ x3Log x.

1. Étudier la fonction f et construire la courbe représentative (C ) de cette fonc- tion dans un repère orthonormé.

2. Soit a ∈]0 ; e[. En utilisant une intégration par parties, trouver l’aire de la partie du plan comprise entre x′Ox, (C ) et les droites d’équations x = a et x = e.

Quelle est la limite de cette aire lorsque a tend vers zéro ?

EXERCICE 2 4 POINTS

On définit la suite réelle (un ) par :

u0 = 0, u1 = a et ∀n ∈N un+2 = pun+1− (p−1)un

p appartient à R+− {0, 1, 2}.

1. On pose ∀n ∈ N,wn = u+1n+1 −un ; montrer que (wn) est une suite géomé- trique et calculer wn en fonction de p, n, a.

2. Onpose∀n ∈N, tn =un+1−(p−1)un ; montrer que (tn ) est une suite constante et calculer tn en fonction de a.

3. Calculer un en fonction de wn et tn puis en fonction de p, n, a.

4. On définit une suite (vn) par :

v0 = 1, v1 = e a et ∀n ∈N,vn+2 =

(vn+1)p

(vn)p−1 .

Justifier la définition enmontrant que ∀n ∈N,vn > 0.

Montrer que ∀n ∈ N, Log (vn) = un . En déduire vn en fonction de p, n, a et déterminer, suivant les valeurs de p et a, la limite de vn quand n tend vers +∞.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On considère un espace vectoriel E de dimension 3, rapporté à une base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit l’endomorphisme ft défini par :

ft

(

−→ ı )

= t +1

2

−→ ı +

t −1

2

−→

ft

(

−→ )

= t −1

2

−→ ı +

t +1

2

−→

ft

(

−→ k )

= 1− t

2

−→ ı +

1− t

2

−→ +

−→ k

1. Donner l’expression analytique de ft dans la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. On se propose de chercher les valeurs de pour lesquelles il existe un vecteur −→ u non nul tel que ft

(

−→ u )

= −→ u .

On supposera que t est différent de 1. On trouve deux valeurs de ; pour l’une

l’ensemble des vecteurs −→ u correspondants est un plan dont on déterminera

une base (

−→ I ,

−→ J )

, pour l’autre l’ensemble est une droite dont on déterminera

une base ( −→ K ).

Montrer que (

−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

est une base de E. Pour quelles valeurs de , t ft est-il

bijectif ?

Trouver l’expression analytique de ft dans la base (

−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

; en déduire que,

pour tout t non nul, l’ensemble des ft est, muni de la loi de composition des applications, un groupe commutatif isomorphe à

(

R ⋆, ×

)

.

Partie B

On donne dans un espace affine E associé à l’espace vectoriel −→ E l’application affine

Ft qui laisse un point O invariant et dont l’endomorphisme associé est ft .

1. a. Donner les expressions analytiques de Ft dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

,

puis dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

. On appellera M ′ l’image deM par Ft .

b. Quel est l’ensemble des points invariants par Ft ? Quand M n’est pas in-

variant, que peut-on dire du vecteur −−−−→ MM ′ ? Prouver que la droite (MM ′)

coupe l’ensemble des points invariants en un point m. Comparer −−−→ mM

et −−−→ mM ′ .

2. On suppose t non nul.

a. On considère gt restriction de ft au plan vectoriel −→ P engendré par

−→ I et

−→ K . Pourquoi gt est-il un endomorphisme de

−→ P ? Donner son expression

analytique dans la base (

−→ I ,

−→ K

)

. Soit Gt l’application affine du plan de

repère (

O, −→ I ,

−→ K

)

, qui admet gt comme endomorphisme associé et qui

transforme O en A de coordonnées a et b.

Vérifier queGt a comme expression analytique :

{

X ′ = X +a

Z ′ = tZ +b

Quel est suivant les valeurs de t , a, b l’ensemble des points invariants ?

3. On suppose de plus t différent de 1 et on pose a = 0 et b = 1.

Donner une équation cartésienne de l’image (D′) de la droite (D) d’équation uX + vZ +w = 0 parGt .

Trouver les droites parallèles à leur image.

Si (D) et (D′) ne sont pas parallèles, montrer que les deux droites se coupent sur l’ensemble des points invariants parGt . Construire le point A.

Déduire des résultats précédents une construction, au moyen de la règle, de l’image d’un point non situé sur (OA) connaissant A et l’ensemble des points invariants parGt .

Partie C

On donne dans un espace affine E de dimension 3, quatre points A, B, C, D formant un repère affine (c’est-à-dire non coplanaires). Soit F une application affine laissant A, B, C invariants. Soit D′ l’image de D.

1. Montrer que tout point du plan (ABC) est invariant par F .

Lille 2 septembre 1978

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. On suppose que D′ = D.Montrer que F est l’identité sur E. On suppose dans la suite que D et D′ sont distincts.

3. D′ est un point du plan (ABC). Montrer que F est une projection que l’on ca- ractérisera.

4. On suppose que la droite (DD′) coupe le plan (ABC) en d .

Montrer que F est une application dumême type que celle étudiée au B 1.

Lille 3 septembre 1978

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