Exercitation de mathématique 7, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe P, l’ensemble des points m.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires, chaque boule ayant même probabilité d’être tirée. On tire successivement 3 boules en remettant la boule après tirage si celle-ci est noire et en ne remettant pas la boule après tirage si celle-ci est blanche. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 3 boules associe le nombre de boules blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de X puis calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X.

EXERCICE 2 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère l’application f de P dans P qui au point m d’affixe z associe le point M d’affixe Z où :

Z = (

2+ 3

2 i

)

z− 5

2 iz,

z désignant le nombre complexe conjugué de z.

1. Calculer les coordonnées (X ; Y ) deM en fonction des coordonnées (x ; y) de m.

Quel est l’ensemble des points M ?

2. Calculer le module de Z en fonction de x et y . Trouver et dessiner l’ensemble des pointsm tels que |Z | =

p 5.

3. Trouver et dessiner l’ensemble des pointsm tels que O,m etM soient alignés.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit le plan affine euclidien P rapporté à un repère orthononné (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy .

Partie A

Soit la fonction numérique f1 de la variable réelle x définie par

f1(x)= √

1

3 x(x−6).

Étudier les variations de f1 et construire sa courbe représentative (C1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On montrera que la courbe (C1) admet un axe de symétrie et on précisera les tan- gentes à (C1) aux points d’abscisses 0 et 6.

Partie B

On considère l’ensemble des fonctions numériques gm de variable réelle x définies par

gm(x)= Log √

1

3 x(x−6m)

avecm réel strictement positif. On notera (Γm) la courbe représentative de gm dans

le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. a. Montrer que (Γ1) courbe représentative de g1 :

g1(x)= Log √

1

3 x(x−6).

admet un axe de symétrie.

Etudier les variations de g1 et construire (Γ1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

après avoir étudié les branches infinies.

b. Calculer I b

a g1(x) dx (a et b étant deux réels strictement supérieurs à

6). En déduire l’aire du domaine plan limité par l’axe x′Ox, (Γ1) et les droites d’équation x = x0 et x = 9. (x0 étant l’abscisse positive de l’un des points d’intersection de (Γ1) avec x′Ox).

2. On considère dans P l’application Tm qui au point M de coordonnées (x ; y) associe le point Tm (M) de coordonnées

(

x′ =mx ; y ′ = y +Logm )

, (m étant le réel strictement positif choisi précédemment).

a. Montrer que Tm est une application affine. Est-elle bijective ? Peut- m , elle être une isométrie ?

b. Montrer que Tm (Γ1)= (Γm). c. Déterminer la structure de l’ensemble F des applications Tm muni de la

loi de composition des applications.

d. Montrer qu’il existe une application appartenant à l’ensemble F par la- quelle deux courbes quelconques (Γα) et

(

Γβ

)

se déduisent l’unede l’autre.

Partie C

1. Soit la fonction numérique f2 de la variable réelle x définie par

f2(x)=− f1(x).

Construire la courbe représentative (C2) de f2 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

du A.

Montrer que la courbe (H) définie par (H)= (C1)∪ (C2) a pour équation

x2−6x−3y2 = 0.

En déduire la nature, le centre et les coordonnées des foyers de (H).

2. On considère dans P la transformation S qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point S(M)=M ′ de coordonnées

x′ =− p 3x+ y ; y ′ =−x

p 3y.

À tout point M de P on fait correspondre le nombre complexe Z = x+ iy affixe deM .

a. Exprimer Z ′ affixe deM ′ en fonction de Z . Déterminer S et ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer l’équation cartésienne de la courbe (H ′)= S(H). c. On considère le point M0(1 ; 0) et la suite des points

M1 = S (M0) , . . . , . . . , Mn = S (Mn−1) .

Montrer que ∀n ∈N− {0}, Mn = (Hn Rn )(M0). H étant une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport, R étant une rotation de centre O dont on déterminera l’angle. En déduire que Mn est transformé de M0 par une similitude que l’on caractérisera. En déduire les coordonnées deMn en fonction de n.

Limoges 2 juin 1978

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