Exercitation de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

Exercitation de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (34.2 KB)
2 pages
201Numéro de visites
Description
Exercitation de mathématique sur l’endomorphisme f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble de toutes les fonctions de R vers R, la transformée de f .
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
LimogesCseptembre1978*.dvi

[ Baccalauréat C Limoges \ septembre 1978

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f : Z → R

x 7−→ − 2

3 x+

1

3

1. Sachant que 2 et 3 sont premiers entre eux :

a. Prouver que A = {x ∈Z/ f (x) ∈Z} est non vide. b. Déterminer A.

2. Déterminer B = {x A/x2+ f 2(x) ∈ 5Z}.

EXERCICE 2 4 POINTS

L’espace vectoriel E de dimension 3 est muni d’une base (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère

l’endomorphisme f de E défini par

f (−→ ı )

=−→ı +−→

f (−→

)

=−→ı +2−→

f (−→ k )

=−→ı −−→

1. Déterminer le noyau N de f et en donner une base.

Déterminer l’image E′ de f et démontrer que (−→ ı ,

−→

)

en est une base.

2. Soit g la restriction de f à l’image E′. Donner la matrice A de g sur la base (−→ ı ,

−→

)

; montrer que g est bijective et déterminer l’application réciproque

g−1.

3. Déterminer l’unique endomorphisme hde E ayant les propriétés suivantes : la restriction de h à E′ est g−1 et le noyau de h est le noyau N de f .

PROBLÈME 4 POINTS

On appelle F l’ensemble de toutes les fonctions de R vers R et E le sous-ensemble de

F des fonctions de R vers R définies et continues sur R.

On considère l’application de E dans F qui à la fonction f de E fait correspondre la

fonction g définie pour tout x réel par :

g (x)= ∫x

0 t f (t)dt .

g sera appelée la transformée de f .

Partie A

L’objet de cette partie est l’étude des transformées de fonctions f particulières. Les

quatre questions qui constituent cette partie sont indépendantes.

1. On prend f (x)= |x| ; définir, pour tout x, g (x).

2. On prend f (x)= 1

x2+1 .

a. Définir g .

b. Etudier les variations de g et tracer la : courbe (C) représentant ces varia- tions dans un repère orthonormé. Préciser les branches infinies de (C).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. On pose f (x)= 1

p 1+ x2

.

a. Définir g .

b. Démontrer que la courbe (Γ) représentant en repère orthonormé les va-

riations de la fonction de R dans R : x 7−→ (p

1+ x2−1 )

est une partie

d’une conique (H). Préciser les éléments géométriques de (H) (centre,

sommets, foyers, directrices, excentricité, asymptotes éventuelles). Tra-

cer (H) et (Γ) sur le même dessin.

4. On pose maintenant f0(x)= sinx et fn (x)= xn sinx, n ∈N⋆. La transformée de fn sera notée gn (n ∈N). En faisant deux intégrations par parties, trouver une relation entre gn(x) et

gn−2(x).

Calculer g0(x) ; en déduire g2(x).

Partie B

1. a. Montrer que pour toute fonction f appartenant à E, la fonction g est continue sur R. On notera alors ϕ l’application de E dans E définie par

ϕ( f )= g . b. On sait que E est un espace vectoriel sur R. Démontrer que l’application

ϕ de E dans E qui à f associe g est un endomorphisme de E.

2. Montrer que g est une fonctiondérivable surR et déterminer g ′(x) pour tout x. En revenant à la définition du nombre dérivé, démontrer que g ′ est dérivable au point 0.

3. f étant positive sur R+, démontrer que si f est paire ou impaire, il en est de même pour g . On pourra utiliser les propriétés de symétrie de la courbe re-

présentant, en repère orthonormé, les variations de la fonction F définie par

F (x)= x f (x) et interpréter géométriquement les nombres g (x) et g (−x).

Limoges 2 septembre 1978

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome