Exercitation de mathématique 8, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercitation de mathématique sur l’endomorphisme f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble de toutes les fonctions de R vers R, la transformée de f .
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[ Baccalauréat C Limoges \ septembre 1978

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f : Z → R

x 7−→ − 2

3 x+

1

3

1. Sachant que 2 et 3 sont premiers entre eux :

a. Prouver que A = {x ∈Z/ f (x) ∈Z} est non vide. b. Déterminer A.

2. Déterminer B = {x A/x2+ f 2(x) ∈ 5Z}.

EXERCICE 2 4 POINTS

L’espace vectoriel E de dimension 3 est muni d’une base (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère

l’endomorphisme f de E défini par

f (−→ ı )

=−→ı +−→

f (−→

)

=−→ı +2−→

f (−→ k )

=−→ı −−→

1. Déterminer le noyau N de f et en donner une base.

Déterminer l’image E′ de f et démontrer que (−→ ı ,

−→

)

en est une base.

2. Soit g la restriction de f à l’image E′. Donner la matrice A de g sur la base (−→ ı ,

−→

)

; montrer que g est bijective et déterminer l’application réciproque

g−1.

3. Déterminer l’unique endomorphisme hde E ayant les propriétés suivantes : la restriction de h à E′ est g−1 et le noyau de h est le noyau N de f .

PROBLÈME 4 POINTS

On appelle F l’ensemble de toutes les fonctions de R vers R et E le sous-ensemble de

F des fonctions de R vers R définies et continues sur R.

On considère l’application de E dans F qui à la fonction f de E fait correspondre la

fonction g définie pour tout x réel par :

g (x)= ∫x

0 t f (t)dt .

g sera appelée la transformée de f .

Partie A

L’objet de cette partie est l’étude des transformées de fonctions f particulières. Les

quatre questions qui constituent cette partie sont indépendantes.

1. On prend f (x)= |x| ; définir, pour tout x, g (x).

2. On prend f (x)= 1

x2+1 .

a. Définir g .

b. Etudier les variations de g et tracer la : courbe (C) représentant ces varia- tions dans un repère orthonormé. Préciser les branches infinies de (C).

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. On pose f (x)= 1

p 1+ x2

.

a. Définir g .

b. Démontrer que la courbe (Γ) représentant en repère orthonormé les va-

riations de la fonction de R dans R : x 7−→ (p

1+ x2−1 )

est une partie

d’une conique (H). Préciser les éléments géométriques de (H) (centre,

sommets, foyers, directrices, excentricité, asymptotes éventuelles). Tra-

cer (H) et (Γ) sur le même dessin.

4. On pose maintenant f0(x)= sinx et fn (x)= xn sinx, n ∈N⋆. La transformée de fn sera notée gn (n ∈N). En faisant deux intégrations par parties, trouver une relation entre gn(x) et

gn−2(x).

Calculer g0(x) ; en déduire g2(x).

Partie B

1. a. Montrer que pour toute fonction f appartenant à E, la fonction g est continue sur R. On notera alors ϕ l’application de E dans E définie par

ϕ( f )= g . b. On sait que E est un espace vectoriel sur R. Démontrer que l’application

ϕ de E dans E qui à f associe g est un endomorphisme de E.

2. Montrer que g est une fonctiondérivable surR et déterminer g ′(x) pour tout x. En revenant à la définition du nombre dérivé, démontrer que g ′ est dérivable au point 0.

3. f étant positive sur R+, démontrer que si f est paire ou impaire, il en est de même pour g . On pourra utiliser les propriétés de symétrie de la courbe re-

présentant, en repère orthonormé, les variations de la fonction F définie par

F (x)= x f (x) et interpréter géométriquement les nombres g (x) et g (−x).

Limoges 2 septembre 1978

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