Exercitation de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

Exercitation de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (38.3 KB)
2 pages
223Numéro de visites
Description
Exercitation de mathématique sur l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les solutions, l’affinité orthogonale de rapport.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
LyonCjuin1978*.dvi

[ Baccalauréat C Lyon juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans Z×Z l’équation

13x−84y = 7

2. Déterminer les solutions (x ; y) de cette équation telles que x et y soient pre- miers entre eux (on pourramontrer que si (x ; y) est une solution de l’équation le PGCD de x et y est 1 ou 7).

EXERCICE 2 5 POINTS

Dansunplan affine euclidienP on considère trois points A, B etC tels que ( A,

−−→ AB ,

−−→ AC

)

soit un repère orthonormé direct. Soit t un nombre réel quelconque ; on désigne par It le barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 2t2− t , t , 1− t2. L’objet de cet exercice est de déterminer l’ensemble E des barycentres It lorsque t décrit R. On désigne par f l’affinité orthogonale de rapport 2 et dont l’axe contient les points A et C.

1. Montrer que l’image f (E) de l’ensemble E par l’application f est inclus dans un cercle (Γ) de centre A dont on précisera le rayon.

2. Soit D le point symétrique du point C par rapport à A. On désigne par (Γ) {D} l’ensemble des points du cercle (Γ) qui sont distincts du point D ; montrer que l’on a f (E )= (Γ)− {D}.

3. En déduire la nature de l’ensemble E et le représenter graphiquement (on prendra 8 cm pour unité de longueur).

On rappelle que l’affinité orthogonale d’axe D et de rapport k ∈ R est la trans- formation qui associe à chaque point M du plan, le point M ′ tel que −−−→ HM ′ = k

−−−→ HM H désigne l’image deM par la projection orthogonale sur la

droiteD.

PROBLÈME 11 POINTS

Pour tout nombre réel λ 6= 0 on désigne par la fonction de l’ensemble C des nombres complexes dans lui-mêmequi associe à tout nombre complexe z le nombre complexe Z = (z) satisfaisant à l’équation :

Z − iλ= i

λ (z− iλ).

Dans un plan affine euclidien orienté P rapporté à un repère orthonormé direct( O,

−→ ı ,

−→

) on note l’application affine qui associe à tout point m d’affixe z le

point M d’affixe Z = (z).

Partie A

1. a. Montrer que est une bijection et déterminer l’application réciproque F−1 λ

.

b. Montrer que admet un unique point invariant . Calculer ses coor- données.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. a. Pour m 6= , exprimer en fonction de λ le rapport SλM

Sλm , ainsi que la

mesure de l’angle á(−−−→

Sλm , −−−→ SλM

) .

b. En déduire la nature de l’application et préciser ses éléments caracté- ristiques. Pour quelle valeur de λ l’application est-elle une rotation ?

Partie B

1. Pour tout pointm de coordonnées (x ; y) on note par (X ; Y ) les coordonnées du point M = (m).

a. Calculer X et Y en fonction de x et y .

b. Soit A le point de P de coordonnées (1 ; 1) ; donner une équation de l’en- semble des points de la forme (A) lorsque λ décrit R.

2. a. Étudier la fonction numérique

x 7−→ 1− x+ 1

1− x .

et construire sa courbe représentative (Γ) dans le repère donné. Préciser ses asymptotes et son centre de symétrieΩ.

b. Soit a un nombre réel, a > 2 ; calculer l’aire arithmétique de la partie du plan limitée par la courbe (Γ), son asymptote oblique et les droites d’équation x = 2 et x = a. Quelle est la limite de cette aire lorsque a tend vers +∞ ?

c. Établir une équation de la courbe (Γ) dans un repère ( Ω,

−→ I ,

−→ J

) , −→ I et

−→ J étant des vecteurs convenablement choisis dirigeant respectivement chacune des deux asymptotes de (Γ).

En déduire la nature de la courbe (Γ).

Partie C

1. Soit ϕ l’application qui à tout nombre réel λ 6= 0 associe le point (A) de P. Montrer que ϕ est une bijection de R⋆ sur (Γ).

2. Pour tout couple (λ1 ; λ2) de nombres réels non nuls on désigne par

M1 = ϕ (λ1) , M2 = ϕ (λ2) leurs images respectives et par M1 ⋆M2 = ϕ (λ1λ2) l’image par ϕ du produit λ1λ2.

Montrer que (Γ, ⋆) est un groupe commutatif.

On notera E son élément neutre.

3. Dans cette question, on note par M3 le point M1⋆M2.

a. On suppose les points M1 etM2 distincts.

Montrer que les vecteurs −−−→ EM3 et

−−−−−→ M1M2 sont colinéaires.

b. Onsuppose les pointsM1 etM2 confondus.Montrer que le vecteur −−−→ EM3 ,lorsqu’il

n’est pas nul, dirige la tangente à Γ au point M1.

c. Endéduire une construction géométriquedeM3 à partir deM1 etM2. On justifiera à l’aide d’une équation de (Γ) que l’intersection de la courbe (Γ) avec une droite quelconque ∆ se compose de deux points au plus.

Lyon 2 juin 1978

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome