Exercitation de modélisation mathématique 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I
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Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I

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Exercitation de modélisation mathématique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’image du point B. Calculer le module de z0. Déterminer la limite de fn Calculs d’aires.
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l’urne.

a. Onsuppose icin = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de X .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité notée pn , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis.

2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en re- mettant le premier bilet tiré avant de tirer le second.

a. Onsuppose icin = 10.Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de Y .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité, notée qn d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis.

3. a. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 3, on a :

pn qn = 4(n−2)

n2(n−1)

b. En remarquant que pour tout entier n, n−2 est inférieur à n−1, déter- miner un entier naturel n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0, on ait pn qn < 10− 3.

c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’un après l’autre en remettant le premier billet tiré ?

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, (unité

graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et 1

2 − i

p 3

2 . Pour

chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1, désigne l’image de M par la ro-

tation de centre O et d’angle π

3 , puis M ′ d’affixe z ′ l’image de M1 par la translation

de vecteur − ~u. Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M ′.

1. a. Démontrer : z ′ = ei π

3 z−1.

b. Déterminer l’image du point B.

c. Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’af- fixe.

2. On pose z = x+ iy , avec x et y réels.

a. Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z

z en fonction de x

et de y .

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que l’ensemble (E), des points M du plan tels que le triangle OMM ′ soit rectangle en 0, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (E).

3. Dans cette question on pose z = 1+ i.

a. Vérifier que M appartient à (E). PlacerM et M ′ sur la figure.

b. Calculer le module de z ′.

c. Calculer l’aire, en cm2, du triangle OMM ′.

Problème 10 points

Ondésigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées fn , qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+n lnx

x2 .

Partie A I) Étude des fonctions fn

1. Calculer f n (x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est n−2−2n ln x.

2. Résoudre l’équation f n (x)= 0. Étudier le signe de f n(x).

3. Déterminer la limite de fn en +∞.

4. Établir le tableau de variations de la fonction fn et calculer sa valeurmaximale en fonction de n.

II) Représentation graphique de quelques fonctions fn . Le plan est rapporté à un

repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, (unité graphique : 5 cm). On note Cn la courbe re-

présentative de la fonction fn dans ce repère.

1. Tracer C2 et C3.

2. a. Calculer fn+1(x)− fn (x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n ?

b. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe C4 à partir de C2 et tracer C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires

1. Calculer en intégrant par parties, l’intégrale I = ∫e

1 lnx dx.

2. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par les courbes Cn , Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe Cn , et les droites d’équation y = 0, x = 1 et x = e.

a. Calculer A2.

b. Déterminer la nature de la suite An en précisant l’interprétation gra- phique de la raison.

Partie C : Étude sur l’intervalle ]1 ; +∞[ de l’équation fn (x) = 1 Dans toute la suite, on prendra n> 3.

1. a. Vérifier que pour tout n, e n−2 2n > 1 et fn

(

e n−2 2n

)

> 1.

b. Vérifier que l’équation fn (x)= 1n’a pas de solution sur l’intervalle ]

1 ; e n−2 2n

[

.

Amérique du Nord 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

2. Montrer que l’équation fn(x) = 1 admet sur l’intervalle [

e n−2 2n ; +∞

[

exacte-

ment une solution notée αn .

3. On se propose de déterminer la limite de la suite αn .

a. Calculer f (p

n )

et montrer que pour tout n > e2, on a fn (p

n )

> 1.

b. En déduire que, pour n > 8, on a αn > p n et donner la limite de la suite

(αn).

Amérique du Nord 3 juin 1998

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