Exercitation de modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le Problème, l'interprétation.
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[ Baccalauréat S Métropole juin 1998 \

EXERCICE 1 5 points

Dans tout l’exercice, A et B étant deux évènements, P(A) désigne la probabilité de A ; P(B / A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité :

i 0 1 2 pi =P (X = i ) 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Dans cette station-service, la probabilité qu’un client achète de l’essence est 0,7 ; celle qu’il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les évènements suivants :

C1 « en cinq minutes, un seul client se présente » ;

C2 « en cinq minutes, deux clients se présentent » ;

E : « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence ».

a. Calculer P(C1 ∩ E). b. Montrer que P(E/C2) = 0,42 et calculer P(C2 ∩ E) . c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achète de

l’essence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y .

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Résoudre dans C l’équation :

(1) z−2 z−1

= z

On donnera le module et un argument de chaque solution.

2. Résoudre dans C l’équation :

(2) z−2 z−1

= i

On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M , A et B les points d’affixes respectives : z, 1 et 2. On suppose queM est distinct des points A et B.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2 z−1

.

b. Retrouver géométriquement la solution de l’équation (2).

4. a. Montrer, à l’aide d’une interprétation géométrique, que toute solution de l’équation dans C :

(

z−2 z−1

)n

= i,

n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3

2 .

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Résoudre alors dans C l’équation

(3)

(

z−2 z−1

)2

= i.

On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD tel

que AB = p 2, AD = 1 ; (

−−→ AB ,

−−→ AD ) est un angle droit direct ; I désigne le milieu de [AB].

A. Soit E l’ensemble des points M du plan tels queMD2−MB2 = 1.

1. Vérifier que les points C et I appartiennent à E .

2. a. Déterminer et construire l’ensemble E .

b. En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

B. Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (A ; ~u, ~v) avec ~u = 1 p 2

−−→ AB et

~v = −−→ AD .

Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′, telle que z ′ = az+b,a et b étant des nombres complexes, avec a 6= 0.

1. Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2. Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’af- fixe z ′ telle que

z ′ =− i p 2

2 z+

p 2

2 + i.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3. Montrer que la similitude T transforme B en I.

4. En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

5. Montrer que le centreΩde la similitudeT est le point d’intersectiondes droites (BD) et (CI).

Problème 10 points

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 2 cm).

On rappelle qu’une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f ) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x apparte- nant à I , f (x)< g (x).

PARTIE A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ln(1+ x) et g (x)= 2x

1+ x .

On notera C la représentation graphique de f et Γ celle de g . On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0;+∞[. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par h(x)= f (x)− g (x).

1. Étudier le sens de variation de h sur [0 ; +∞[ ; calculer h(0). (L’étude de la limite de h en +∞ n’est pas demandée.)

Métropole 2 juin 1998

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul,

(1) 2x

x+2 < ln(1+ x).

3. Construire dans le même repère les courbes C et Γ et montrer qu’elles ad- mettent en 0 unemême tangenteD que l’on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes.)

PARTIE B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonc- tions linéaires x 7→ kx , majorant la fonction f : x 7→ ln(1+ x) sur [0 ; +∞[. Soit fk la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fk (x)= ln(1+ x)−kx.

1. Étudier le sens de variation de f1, définie sur [0 ; +∞[ par f1(x)= ln(1+x)−x. 2. Étudier la limite de f , en +∞[ et donner la valeur de f1 en 0. 3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul

(2) ln(1+ x)6 x. 4. En déduire que si k > 1 alors : pour tout x > 0, f (x)6 kx.

5. Le réel k vérifie les conditions : 0< k < 1 .

Montrer que la dérivée de fk s’annule pour x = 1−k k

et étudier le sens de va-

riation de fk . (L’étude de la limite de fk en +∞ n’est pas demandée.) 6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout x >

0, f (x)< kx.

PARTIE C

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

I= 1

0

ln(1+ x)dx.

(On remarquera éventuellement que : x

1+ x = 1−

1

1+ x .

Endéduire le calcul de J = ∫1

0 (x−ln(1+x)dx puis deK=

∫1

0

[

ln(1+ x)− 2x

x+2

]

dx.

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : 2x

x+2 = 2−

4

2+ x .)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C , Γ et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0)= 1 et si x 6= 0, u(x)= ln(1+ x)

x .

a. Démontrer que la fonction u est dérivable sur ]0 ; 1].

b. On admet que u est dérivable sur [0 ; 1 ] et on pose :

L= ∫1

0 u(x)dx.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, mon- trer que :

∫1

0

2

x+2 dx < L < 1.

En déduire une valeur approchée de L à 10−1 près.

Métropole 3 juin 1998

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